Chaos: an introduction for applied mathematicians

Preface......Page 6
Contents......Page 9
1.1 Limit Cycles......Page 13
1.2 Bifurcation Theory......Page 15
1.2.1 Hopf Bifurcation......Page 16
1.3 Strange Attractors......Page 17
1.4 Turbulence......Page 19
1.5 Stochasticity......Page 20
1.6 The Lorenz Equations......Page 22
1.7 Notes and References......Page 25
1.7.1 Poincaré and the Swedish Prize......Page 26
1.7.2 Weather Predictability......Page 27
1.8 Exercises......Page 28
2.1 Chaos in Maps......Page 32
2.2 Bifurcations in Maps......Page 36
2.3 Period-Doubling and the Feigenbaum Conjectures......Page 39
2.3.1 Bifurcation Trees......Page 44
2.4 Symbolic Dynamics: The Kneading Sequence......Page 49
2.5.1 The Feigenbaum Conjectures......Page 53
2.6 Exercises......Page 54
3.1 Hopf Bifurcation Theorem......Page 59
3.1.1 Implicit Function Theorem......Page 61
3.1.2 Proof of Hopf Bifurcation Theorem......Page 65
3.2 Normal Forms......Page 69
3.3 Centre Manifold Theorem......Page 73
3.3.1 Formal Power Series Expansion......Page 79
3.3.2 Application to Hopf Bifurcation......Page 82
3.4.1 Stability of Periodic Orbits......Page 84
3.4.2 Floquet Theory......Page 85
3.4.3 Normal Forms......Page 87
3.4.4 Weak and Strong Resonance......Page 90
3.4.5 Circle Maps, Arnold Tongues, Frequency Locking......Page 91
3.5 Tertiary Hopf Bifurcation......Page 99
3.6.2 Multiple Scale Methods......Page 100
3.6.3 Circle Maps......Page 101
3.7 Exercises......Page 102
4 Homoclinic Bifurcations......Page 109
4.1 Lorenz Equations......Page 111
4.1.1 Homoclinic Bifurcations......Page 113
4.1.2 One-Dimensional Map......Page 117
4.2 Symbolic Dynamics......Page 119
4.2.2 Strange Attractors......Page 121
4.3 Shilnikov Bifurcations......Page 123
4.3.1 Approximation and Proof......Page 129
4.4 Matched Asymptotic Expansions for n-dimensional Flows......Page 132
4.4.1 Strange Attractors......Page 138
4.4.2 Partial Differential Equations......Page 139
4.5.1 The Lorenz Equations......Page 140
4.5.3 Infinite Dimensions......Page 141
4.6 Exercises......Page 143
5 Hamiltonian Systems......Page 153
5.1 Lagrangian Mechanics......Page 154
5.1.1 Hamilton\'s Principle......Page 156
5.1.2 Hamilton\'s Equations......Page 157
5.2 Hamiltonian Mechanics......Page 158
5.2.1 Integrability......Page 159
5.2.2 Action-Angle Variables......Page 162
5.2.3 Integral Invariants......Page 163
5.2.4 Canonical Transformations......Page 164
5.2.5 The Hamilton–Jacobi Equation......Page 165
5.3 Perturbation Theory......Page 167
5.3.1 Other Applications......Page 168
5.3.2 Resonance and Small Divisors......Page 170
5.3.3 The KAM Theorem......Page 173
5.3.4 Superconvergence......Page 176
5.4.1 Area-Preserving Maps......Page 179
5.4.2 Poincaré-Birkhoff Fixed Point Theorem......Page 182
5.4.3 Removal of Resonances......Page 183
5.4.4 Secondary Resonance......Page 186
5.4.5 Melnikov\'s Method......Page 188
5.4.6 Heteroclinic Tangles......Page 190
5.4.7 Arnold Diffusion......Page 191
5.5.1 A Restricted Three-Body Problem......Page 192
5.5.2 Lagrange Points......Page 201
5.5.3 The Hénon–Heiles System......Page 203
5.5.4 Hénon\'s Area-Preserving Map......Page 205
5.5.5 Standard Map......Page 206
5.6.1 The KAM Theorem......Page 208
5.6.3 Hénon-Heiles Potential......Page 209
5.7 Exercises......Page 210
6.1 Chaotic Data......Page 217
6.1.2 The Stock Market......Page 219
6.1.4 Chaos and Noise......Page 220
6.2 Statistical Methods......Page 221
6.2.1 Stochastic Processes......Page 222
6.2.2 Autocorrelation and Power Spectral Density......Page 224
6.2.3 Autoregressive Models......Page 228
6.3 Phase Space Embedding......Page 229
6.3.1 Singular Systems Analysis......Page 230
6.3.2 Time Lag Selection......Page 233
6.3.3 Nonlinear Filtering......Page 236
6.3.4 Prediction......Page 238
6.4 Dimensions and Lyapunov Exponents......Page 239
6.4.1 The Kaplan–Yorke Conjecture......Page 242
6.5.1 The Cantor Middle-Thirds Set......Page 245
6.5.2 Iterated Function Systems......Page 246
6.5.3 Julia Sets......Page 247
6.5.4 The Mandelbrot Set......Page 250
6.6 Whither Turbulence?......Page 252
6.6.1 Linear Stability......Page 253
6.6.2 Nonlinear Stability......Page 254
6.6.3 Experimental Observations in Shear Flows......Page 255
6.6.4 A Homoclinic Connection?......Page 256
6.6.5 Practical Turbulence......Page 257
6.7.1 Time Series......Page 258
6.7.2 Phase Space Embedding......Page 259
6.7.3 Dimensions and Fractals......Page 260
6.7.4 Turbulence......Page 265
6.8 Exercises......Page 267
Appendix  Numerical Notes for Figures......Page 280
BookmarkTitle:......Page 301
Index......Page 307