Cellular Automata: Analysis and Applications

این کتاب نمای کلی از رویکردهای اصلی مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل پویایی اتوماتای ​​سلولی را ارائه می دهد. اتوماتای ​​سلولی ابزاری ضروری در مدلسازی ریاضی است. برخلاف روش‌های مدل‌سازی کلاسیک مانند معادلات دیفرانسیل جزئی، شبیه‌سازی اتوماتای ​​سلولی نسبتاً آسان است اما تجزیه و تحلیل آن دشوار است. در این کتاب مروری بر رویکردها و نظریه‌هایی ارائه می‌کنیم که به خواننده اجازه می‌دهد تا رفتار اتوماتای ​​سلولی را فراتر از شبیه‌سازی‌ها درک کند. بخش اول شامل مقدمه‌ای بر اتوماتای ​​سلولی در گراف‌های کیلی و توصیف آنها از طریق قضایای اساسی Cutis-Hedlund-Lyndon در زمینه مفاهیم توپولوژیکی مختلف (توپولوژی Cantor، Besicovitch و Weyl) است. بخش دوم بر نتایج طبقه‌بندی متمرکز است: چه طبقه‌بندی از مفاهیم توپولوژیکی (طبقه‌بندی هرلی)، پایداری لیاپانوف (طبقه‌بندی گیلمن) و نظریه زبان‌ها و دستور زبان‌های رسمی (طبقه‌بندی Kůrka) دنبال می‌شود؟ این طبقه بندی ها نشان می دهد که اتوماتای ​​سلولی، مشابه طبقه بندی معادلات دیفرانسیل جزئی به معادلات هذلولی، سهموی و بیضوی، خوشه بندی شوند. این بخش از کتاب به این سوال ختم می شود که آیا ویژگی های اتوماتای ​​سلولی قابل تصمیم گیری هستند یا خیر. Surjectivity و injectivity مورد بررسی قرار می گیرند و قضایای اصلی باغ عدن مورد بحث قرار می گیرند. به نوبه خود، بخش سوم بر تجزیه و تحلیل اتوماتای ​​سلولی متمرکز است که ویژگی‌های متمایزی را به ارث می‌برند، اغلب بر اساس مدل‌سازی ریاضی سیستم‌های بیولوژیکی، فیزیکی یا شیمیایی. خطی بودن مفهومی است که به ما امکان می دهد مجموعه های حد خود مشابه را تعریف کنیم. مدل‌های حرکت ذرات نشان می‌دهند که چگونه می‌توان شکاف بین اتوماتای ​​سلولی و معادلات دیفرانسیل جزئی را پر کرد (مدل HPP و حد فوق گسسته). شکل‌گیری الگو به اتوماتای ​​سلولی خطی، به مدل بار-یام برای الگوی تورینگ، و اتوماتای ​​گرینبرگ-هیستینگ برای رسانه‌های تحریک‌پذیر مربوط می‌شود. علاوه بر این، مدل‌هایی برای توده‌های شن، پویایی بیماری‌های عفونی، و تکامل سیستم‌های شکارچی-شکار مورد بحث قرار می‌گیرند. ریاضیدانان یک مرور کلی از نظریه و ابزارهای مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل اتوماتای ​​سلولی پیدا خواهند کرد. این کتاب همچنین دارای یک ضمیمه است که خواننده را با تکنیک‌ها و نمادهای پایه ریاضی آشنا می‌کند تا فیزیکدانان، شیمی‌دانان و زیست‌شناسان علاقه‌مند به اتوماتای ​​سلولی فراتر از شبیه‌سازی‌های خالص نیز از این کتاب بهره‌مند شوند.>

This book provides an overview of the main approaches used to analyze the dynamics of cellular automata. Cellular automata are an indispensable tool in mathematical modeling. In contrast to classical modeling approaches like partial differential equations, cellular automata are relatively easy to simulate but difficult to analyze. In this book we present a review of approaches and theories that allow the reader to understand the behavior of cellular automata beyond simulations. The first part consists of an introduction to cellular automata on Cayley graphs, and their characterization via the fundamental Cutis-Hedlund-Lyndon theorems in the context of various topological concepts (Cantor, Besicovitch and Weyl topology). The second part focuses on classification results: What classification follows from topological concepts (Hurley classification), Lyapunov stability (Gilman classification), and the theory of formal languages and grammars (Kůrka classification)? These classifications suggest that cellular automata be clustered, similar to the classification of partial differential equations into hyperbolic, parabolic and elliptic equations. This part of the book culminates in the question of whether the properties of cellular automata are decidable. Surjectivity and injectivity are examined, and the seminal Garden of Eden theorems are discussed. In turn, the third part focuses on the analysis of cellular automata that inherit distinct properties, often based on mathematical modeling of biological, physical or chemical systems. Linearity is a concept that allows us to define self-similar limit sets. Models for particle motion show how to bridge the gap between cellular automata and partial differential equations (HPP model and ultradiscrete limit). Pattern formation is related to linear cellular automata, to the Bar-Yam model for the Turing pattern, and Greenberg-Hastings automata for excitable media. In addition, models for sand piles, the dynamics of infectious diseases, and evolution of predator-prey systems are discussed. Mathematicians will find an essential overview of theory and tools used for the analysis of cellular automata. The book also features an appendix introducing the reader to basic mathematical techniques and notations, so that physicists, chemists and biologists interested in cellular automata beyond pure simulations will also benefit from the book.>