Canonical Gravity and Applications: Cosmology, Black Holes, and Quantum Gravity

Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Contents......Page 7
1 Introduction......Page 9
2 Isotropic cosmology: a prelude......Page 12
2.1.1 Reduced Lagrangian......Page 13
2.1.2 Canonical analysis......Page 14
2.1.4 Friedmann equations......Page 15
2.2 Matter parameters......Page 16
2.3 Energy conditions......Page 18
2.4 Singularities......Page 19
2.5 Linear perturbations......Page 20
Exercises......Page 23
3 Hamiltonian formulation of general relativity......Page 25
3.1 Constrained systems......Page 26
3.1.1 Lagrangian formulation......Page 30
3.1.2 Hamiltonian formulation......Page 31
3.1.2.1 Hamiltonian equations......Page 32
3.1.2.2 Poisson brackets......Page 34
3.1.2.3 Constraint algebras......Page 40
3.1.3 Field theories......Page 43
3.2.1 Foliation......Page 48
3.2.1.2 Time derivatives......Page 49
3.2.1.3 Metric decomposition......Page 51
3.2.2.1 Intrinsic geometry......Page 52
3.2.2.2 Extrinsic curvature......Page 53
3.2.3 Curvature relations......Page 55
3.3.1 Constraints......Page 58
3.3.2.1 Gibbons–Hawking term......Page 60
3.3.2.2 Boundary contribution to constraints......Page 62
3.3.3 Equations of motion......Page 65
3.3.4.1 Off-shell algebra of constraints......Page 69
3.3.4.2 Space-time and the constraints......Page 72
3.3.4.3 Space-time gauge and observables......Page 74
3.4.1 Hyperbolic systems......Page 80
3.4.2 Hyperbolic reductions......Page 83
3.4.2.1 Space-time gauge......Page 84
3.4.2.2 Gauge-source functions and the ADM system......Page 85
3.4.2.3 BSSN equations......Page 86
3.4.3 Slicing conditions......Page 87
3.4.4 Constraints on initial values......Page 89
3.5 First-order formulations and Ashtekar variables......Page 90
3.5.1.1 Tetrads and connections......Page 91
3.5.1.2 General relativity in tetrad form......Page 98
3.5.2 Ashtekar–Barbero variables......Page 100
3.6.1 Stress-energy components......Page 106
3.6.2 Dust......Page 109
3.6.3 Electromagnetic field......Page 111
3.6.4 Fermions......Page 112
3.6.4.1 Torsion......Page 114
3.6.4.2 Half-densities......Page 116
Exercises......Page 118
4.1 Bianchi models......Page 121
4.1.1 Bianchi classification......Page 122
4.1.2 Diagonalization......Page 128
4.1.3 Kasner solutions and BKL scenario......Page 131
4.2.1.1 Symmetric space-times......Page 137
4.2.1.2 Invariant connections......Page 138
4.2.1.3 Canonical reduction......Page 148
4.2.1.4 Examples......Page 149
4.2.2 Symmetric criticality......Page 153
4.3 Spherical symmetry......Page 155
4.3.1.1 Static solutions......Page 156
4.3.1.2 Reduced phase space......Page 159
4.3.2 2-dimensional dilaton gravity......Page 162
4.3.2.1 Poisson sigma model......Page 163
4.3.2.2 Solutions......Page 165
4.3.2.3 Canonical formulation......Page 166
4.3.2.4 Lie algebroids......Page 168
4.3.2.5 Symmetries......Page 169
4.4 Linearized gravity......Page 171
4.4.1 Linearized Einstein equation......Page 172
4.4.1.1 Mode decomposition......Page 173
4.4.1.2 Propagation......Page 174
4.4.1.3 Equations of motion......Page 175
4.4.2.1 Space-time treatment......Page 176
4.4.2.2 Canonical treatment......Page 178
4.4.3 Gauge-invariant equations of motion......Page 181
4.4.4 Basics of inflationary structure formation......Page 182
4.4.4.1 Conservation of power on large scales......Page 183
4.4.4.2 Initial conditions......Page 186
Exercises......Page 188
5 Global and asymptotic properties......Page 192
5.1.1 Timelike geodesic congruences......Page 193
5.1.1.1 Maximization of proper time......Page 194
5.1.1.2 Jacobi vector fields......Page 199
5.1.2.1 Decomposition......Page 202
5.1.2.2 Trapped surfaces and singularities......Page 203
5.2.1 Black-hole solutions......Page 206
5.2.2 Causal diagrams......Page 209
5.3 Asymptotic infinity......Page 211
5.3.1 Asymptotic flatness......Page 213
5.3.2.1 Schwarzschild exterior......Page 216
5.3.2.2 Spatially closed FLRW model......Page 217
5.3.3 Conformal gauge......Page 218
5.3.4 Asymptotic solution for asymptotically flat space-times......Page 219
5.3.5 Asymptotic symmetries......Page 220
5.3.6 Spatial infinity......Page 223
5.4 Matching of solutions......Page 225
5.4.1 Non-null matching surface......Page 228
5.4.2 Null matching surface......Page 229
5.4.3 Oppenheimer–Snyder model......Page 230
5.4.4 Vaidya solution......Page 235
5.4.4.1 Spacelike singularity......Page 237
5.4.4.2 Null singularity......Page 240
5.4.5 Cosmic-censorship conjecture......Page 242
5.5 Horizons......Page 243
5.5.1 Notions of horizons......Page 244
5.5.2 Spacelike properties......Page 245
5.5.4 Stationary horizons and black-hole thermodynamics......Page 248
Exercises......Page 253
6 Quantum gravity......Page 256
6.1.1 Reduced phase-space quantization......Page 257
6.1.2 Dirac quantization......Page 259
6.1.3 Effective space-times......Page 261
6.1.4.1 Scalar field......Page 263
6.1.4.2 Gravity......Page 264
6.2 Quantum cosmology......Page 266
6.2.1.1 Physical Hilbert spaces......Page 267
6.2.1.2 Loop representation......Page 269
6.2.2.1 Quantum phase space......Page 271
6.2.2.2 Solvable models......Page 273
6.2.2.3 Cosmological bounces......Page 275
6.2.3 Lattice refinement......Page 276
6.2.4 Quantum-cosmological perturbations......Page 277
6.3 Quantum black holes......Page 279
6.4 The status of canonical quantum gravity......Page 281
AA.1 Lie derivatives......Page 282
AA.2 Tensor densities......Page 283
AA.3 Geometry of Lie groups and Lie algebras......Page 285
AA.4.1 Fiber bundles......Page 287
AA.4.2 Connections......Page 288
AA.4.3 n-beins......Page 290
AA.5.1 Local structure of Poisson manifolds......Page 291
AA.5.2 Constraints......Page 292
AA.6 Lie algebroids......Page 294
Exercises......Page 296
References......Page 297
Index......Page 308