Calcul Differentiel: I-Calcul differetiel dans les espaces de Banach et II-Equations differentielles

TABLE

1. Rappel de notions relatives aux espaces de Banach et aux applications linéaires
continues

1.1. Normes sur un espace vectoriel E
1.2. Exemples d\'espaces de Banach
1.3. Séries normalement convergentcs dans un espace de Banach
1.4. Applications linéaires continues
1.5. Composition des applications linéaires continues
1.6. Isomorphismes d’espaces vectoriels normés ; normes équivalentes sur un e.v normé
1.7. Exemples d\'espaces L(E;F)
1.8. Applications multilinéaires continues
1.9. L\'isométrie naturelle L(E,F;G) ≈ L(E;L(F;G))

2. Applications différentiables

2.1. Définition d\'une application différentiable
2.2. Dérivée d\'une fonction composée
2.3. Linéarité de la dérivée
2.4. Dérivées de fonctions particulières
2.5. Fonction à valeurs dans un produit d\'espaces de Banach
2.6. Cas où Ü est un ouvert d\'un produit d\'espaces de Banach
2.7. Combinaison des cas étudiés en 2.5 et 2.6
2.8. Remarque finale: comparaison entre R-différentiabilité et C-différentiabilité

3. Théorème des accroissements finis : applications

3.1. Enoncé du théorème principal
3.2. Cas particuliers du théorème principal
3.3. Théorème des accroissements finis lorsque la variable est dans un espace de Banach
3.4. Encore le théorème des accroissements finis
3.5. Une liste d\'exercices
3.6. Première application du théorème des accroissements finis: convergence d’une suite de fonctions différentiables
3.7. Deuxième application du théorème des accroissements finis: relation entre différentiabilité partielle et différentiabilité
3.8 Troisième application du théorème des accroissements finis : notion de fonction strictement différentiable

4.  Inversion locale d\'une application de classe C\'. Théorème des fonctions implicites

4.1. Difféomorphismes de classe C!
4.2. Le théorème d’inversion locale
4.3. Démonstration du théorème d\'inversion locale : première réduction
44.  Démonstration de la proposition 4.3.1
4.5. Démonstration du théorème 4.4.1
4.6. Théorème d’inversion locak dans le cas de la dimension finie
4.7. Théorème des fonctions implicites

5. Dérivées d\'ordre supérieur

5.1. Dérivée seconde
5.2. Cas où E est un produit E_1 x... x E_n
5.3. Dérivées successives
5.4. Exemples de fonctions n fois différentiables
5.5. Formule de Taylor: cas particulier
5.6. Formule de Taylor: cas général

6. Polynomes

6.1. Polynomes homogènes de degré n
6.2. Polynomes non nécessairement homogènes
6.3. Les « différences » successives d\'un polynome
6.4: Cas où E et F sont des espaces vectoriels normés

7. Développements limités

7.1 Définitions
7.2. Cas où f est n fois différentiable au point a
7.3. Opérations sur les développements limités
7.4. Composition de deux développements limités
7.5. Calcul des dérivées successives d\'une fonction composée

8. Maxima et minima relatifs

8.1. Première condition nécessaire pour un minimum relatif
8.2. Condition du second ordre pour le minimum relatif
8.3. Condition suffisante pour le minimum relatif strict
EXERCICES


II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1. Définitions et théorèmes fondamentaux
1.1. Équation différentielle du premier ordre
1.2. Équation différentielle d\'ordre n
1.3. Solutions approchées
1.4. Exemple : équation différentielle linéaire
1.5. Cas lipschitzien : lemme fondamental
1.6. Application du lemme fondamental : théorème d’unicité
1.7. Théorème d’existence dans le cas lipschitzien
1.8. Cas où f est localement lipschitzienne
1.9. Cas d’une équation différentielle linéaire
1.10. Dépendance de la valeur initiale
1.11. Cas où l\'équation différentielle dépend d’un paramètre

2. Équations différentielles linéaires

2.1. Forme de la solution générale
2.2. Étude d’une équation linéaire homogène ‘
2.3. Cas où E est de dimension finie
2.4. Équation linéaire «avec second membre »
2.5. Cas d’une équation différentielle linéaire homogene d\'ordre n
2.6. Équation différentielle linéaire d’ordre n « avec second membre »
2.7. Équation différentielle linéaire à coefficients constants
2.8. Équation à coefficients constants : cas où E est de dimension finie
2.9.  Équation différientielle linéaire d’ordre n à coefficients constants

3. Questions diverses

3.1. Groupes à un paramètre d’automorphismes linéaires
3.2. Noyau de groupe à un paramètre
3.3. Questions de différentiabilité
3.4. Questions de différentiabilité (suite): différentiabilité par rapport à la valeur initiale u
3.5. Démonstration du théorème 3.4.2
3.6. Différentiabilité par rapport à un paramètre dont dépend l\'équation différentielle
3.7. Différentiabilité d\'ordre supérieur
3.8. Cas d’une équation différentielle du second ordre
3.9. Équations différentielles ne contenant pas la variable
3.10. Équations différentielles « non résolues »


4.  Intégrales premières et équations aux dérivées partielles linéaires

4.1. Définition des intégrales premières d’un système différentiel
4.2. Existence des intégrales premières
4.3. Équation aux dérivées partielles linéaire non homogène
4.4. Exemples

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