Brownian Motion and its Applications to Mathematical Analysis: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XLIII – 2013

این یادداشت‌های سخنرانی مقدمه‌ای بر کاربردهای حرکت براونی در تحلیل و به طور کلی‌تر، ارتباط بین حرکت براونی و تحلیل ارائه می‌دهند. حرکت براونی مدلی مناسب برای طیف وسیعی از پدیده‌های تصادفی واقعی، از نوسانات آشفته اجسام میکروسکوپی، مانند گرده گل در آب، تا نوسانات بازار سهام است. همچنین این یک ابزار ریاضی کاملاً انتزاعی است که می‌تواند برای اثبات قضایا در زمینه‌های «تعیین‌گرایانه» ریاضیات استفاده شود.

یادداشت‌ها شامل بررسی مختصری از حرکت براونی و بخشی در برهان‌های احتمالی قضایای کلاسیک است. در تحلیل بخش عمده ای از یادداشت ها به کاربردهای اخیر (پس از 1990) تحلیل تصادفی برای توابع ویژه نویمان، هسته حرارتی نویمان و معادله گرما در حوزه های وابسته به زمان اختصاص دارد.

These lecture notes provide an introduction to the applications of Brownian motion to analysis and more generally, connections between Brownian motion and analysis. Brownian motion is a well-suited model for a wide range of real random phenomena, from chaotic oscillations of microscopic objects, such as flower pollen in water, to stock market fluctuations. It is also a purely abstract mathematical tool which can be used to prove theorems in "deterministic" fields of mathematics.

The notes include a brief review of Brownian motion and a section on probabilistic proofs of classical theorems in analysis. The bulk of the notes are devoted to recent (post-1990) applications of stochastic analysis to Neumann eigenfunctions, Neumann heat kernel and the heat equation in time-dependent domains.