Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus

این کتاب ارائه‌ای دقیق و مستقل از ادغام تصادفی و حساب تصادفی در چارچوب کلی نیمه‌مارتینگا‌های پیوسته ارائه می‌دهد. ابزارهای اصلی حساب تصادفی، از جمله فرمول Itô، قضیه توقف اختیاری و قضیه گیرسانوف، در کنار بسیاری از مثال‌های گویا به تفصیل بررسی می‌شوند. این کتاب همچنین شامل مقدمه ای بر فرآیندهای مارکوف، با کاربردهایی برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی و اتصالات بین حرکت براونی و معادلات دیفرانسیل جزئی است. نظریه زمان های محلی نیمه مارتینگا ها در فصل آخر مورد بحث قرار می گیرد.
از زمان اختراع آن توسط Itô، حساب تصادفی ثابت کرده است که یکی از مهم ترین تکنیک های نظریه احتمالات مدرن است و در جدیدترین پیشرفت های نظری مورد استفاده قرار گرفته است. و همچنین در برنامه های کاربردی در زمینه های دیگر مانند مالی ریاضی. حرکت براونی، مارتینگالس، و محاسبات تصادفی یک پس زمینه نظری قوی برای خواننده علاقه مند به چنین تحولاتی فراهم می کند.
دانشجویان مقطع کارشناسی ارشد یا پیشرفته از این رویکرد دقیق برای حوزه ضروری نظریه احتمال بهره مند خواهند شد. . تاکید بر ارائه مختصر و کارآمد، بدون هیچ گونه اغماض برای دقت ریاضی است. این مطالب برای چندین سال توسط نویسنده در دوره های تحصیلات تکمیلی در دو تا از معتبرترین دانشگاه های فرانسه تدریس شده است. این واقعیت که شواهد با جزئیات کامل ارائه شده اند، این کتاب را به ویژه برای مطالعه شخصی مناسب می کند. تمرین های متعدد به خواننده کمک می کند تا با ابزارهای حساب تصادفی آشنا شود.

This book offers a rigorous and self-contained presentation of stochastic integration and stochastic calculus within the general framework of continuous semimartingales. The main tools of stochastic calculus, including Itô’s formula, the optional stopping theorem and Girsanov’s theorem, are treated in detail alongside many illustrative examples. The book also contains an introduction to Markov processes, with applications to solutions of stochastic differential equations and to connections between Brownian motion and partial differential equations. The theory of local times of semimartingales is discussed in the last chapter.
Since its invention by Itô, stochastic calculus has proven to be one of the most important techniques of modern probability theory, and has been used in the most recent theoretical advances as well as in applications to other fields such as mathematical finance. Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus provides a strong theoretical background to the reader interested in such developments.
Beginning graduate or advanced undergraduate students will benefit from this detailed approach to an essential area of probability theory. The emphasis is on concise and efficient presentation, without any concession to mathematical rigor. The material has been taught by the author for several years in graduate courses at two of the most prestigious French universities. The fact that proofs are given with full details makes the book particularly suitable for self-study. The numerous exercises help the reader to get acquainted with the tools of stochastic calculus.