Boundary Value Problems and Markov Processes

این جلد به توضیح کامل و قابل دسترس در مورد رویکرد تحلیلی عملکردی به مسئله ساخت فرآیندهای مارکوف با شرایط مرزی ونتسل در نظریه احتمال اختصاص دارد. از نظر تحلیلی، یک ذره مارکویی در حوزه‌ای از فضای اقلیدسی توسط یک عملگر انتگرو-دیفرانسیل به نام عملگر والدنفلز در داخل حوزه اداره می‌شود و از یک شرط مرزی به نام شرط مرزی ونتسل پیروی می‌کند. دامنه. به احتمال زیاد، یک ذره مارکوفی هم با جهش و هم به طور مداوم در فضای حالت حرکت می کند و از شرط مرزی ونتسل پیروی می کند که شامل شش ترم مربوط به انتشار در امتداد مرز، پدیده جذب، پدیده بازتاب، چسبندگی (یا ویسکوزیته) است. ) پدیده، پدیده پرش روی مرز و پدیده پرش به داخل از مرز. به طور خاص، عملگرهای دیفرانسیل بیضوی درجه دوم، عملگرهای انتشار نامیده می شوند و فرآیندهای مارکوف قوی تحلیلی را با مسیرهای پیوسته در فضای حالت مانند حرکت براونی توصیف می کنند. مشاهده می کنیم که عملگرهای دیفرانسیل بیضوی مرتبه دوم با ضرایب صاف به طور طبیعی در ارتباط با مشکل ساخت فرآیندهای مارکوف در احتمال بوجود می آیند. از آنجایی که عملگرهای دیفرانسیل بیضوی مرتبه دوم عملگرهای شبه دیفرانسیل هستند، می‌توانیم مانند کتاب قبلی از نظریه عملگرهای شبه دیفرانسیل استفاده کنیم: نیمه گروه‌ها، مسائل ارزش مرزی و فرآیندهای مارکوف (اسپرینگر-ورلاگ، 2004). >

رویکرد ما در اینجا با استفاده گسترده از ایده‌ها و تکنیک‌های مشخصه تحولات اخیر در نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی متمایز می‌شود. چند پیشرفت اخیر در تئوری انتگرال های منفرد پیشرفت بیشتری در مطالعه مسائل ارزش مرزی بیضوی و از این رو در مطالعه فرآیندهای مارکوف ممکن کرده است. ارائه این نتایج جدید هدف اصلی این کتاب است.

This volume is devoted to a thorough and accessible exposition on the functional analytic approach to the problem of construction of Markov processes with Ventcel' boundary conditions in probability theory. Analytically, a Markovian particle in a domain of Euclidean space is governed by an integro-differential operator, called a Waldenfels operator, in the interior of the domain, and it obeys a boundary condition, called the Ventcel' boundary condition, on the boundary of the domain. Probabilistically, a Markovian particle moves both by jumps and continuously in the state space and it obeys the Ventcel' boundary condition, which consists of six terms corresponding to the diffusion along the boundary, the absorption phenomenon, the reflection phenomenon, the sticking (or viscosity) phenomenon, the jump phenomenon on the boundary, and the inward jump phenomenon from the boundary. In particular, second-order elliptic differential operators are called diffusion operators and describe analytically strong Markov processes with continuous paths in the state space such as Brownian motion. We observe that second-order elliptic differential operators with smooth coefficients arise naturally in connection with the problem of construction of Markov processes in probability. Since second-order elliptic differential operators are pseudo-differential operators, we can make use of the theory of pseudo-differential operators as in the previous book: Semigroups, boundary value problems and Markov processes (Springer-Verlag, 2004).

Our approach here is distinguished by its extensive use of the ideas and techniques characteristic of the recent developments in the theory of partial differential equations. Several recent developments in the theory of singular integrals have made further progress in the study of elliptic boundary value problems and hence in the study of Markov processes possible. The presentation of these new results is the main purpose of this book.