Boundary Integral Equation Analyses of Singular, Potential, and Biharmonic Problems

مشکلات ارزش مرزی هارمونیک و بی هارمونیک (BVP) که در موقعیت‌های فیزیکی در مکانیک سیالات ایجاد می‌شوند، به طور کلی با تکنیک‌های تحلیلی غیرقابل حل هستند. در دهه گذشته افزایش سریعی در کاربرد تکنیک های معادلات انتگرال برای حل عددی چنین مسائلی وجود داشته است [1،2،3]. یکی از این روش‌ها، روش معادلات انتگرال مرزی (BIE) است که بر اساس فرمول گرین [4] است و فرد را قادر می‌سازد تا BVP خاصی را به عنوان معادلات انتگرال دوباره فرموله کند. فرمول بندی مجدد تأثیری بر کاهش یک بعد مسئله دارد. از آنجا که گسسته سازی تنها در مرز BIE رخ می دهد، سیستم معادلات تولید شده توسط یک BIE به طور قابل توجهی کوچکتر از معادلات ایجاد شده توسط تقریب اختلاف محدود معادل (FD) یا المان محدود (FE) است [5]. استفاده از BIE در زمینه مکانیک سیالات در گذشته تقریباً به طور کامل به حل مسائل هارمونیک مربوط به جریان های پتانسیل در اطراف هندسه های انتخاب شده محدود شده است [3،6،7]. به نظر می رسد کار کمی روی حل معادله انتگرالی مستقیم مسائل جریان ویسکوز انجام شده است. کلمن [8] معادله بی هارمونیک را که جریان آهسته بین دو صفحه موازی نیمه نامتناهی را با استفاده از یک رویکرد متغیر پیچیده توصیف می کند، حل می کند، اما اثرات تکینگی های ناشی از حوزه حل را در نظر نمی گیرد. از آنجایی که گردابه در هر تکینگی نامحدود می شود، روش های ارائه شده در [8] نمی توانند در کل میدان جریان به نتایج دقیقی دست یابند.

Harmonic and biharmonic boundary value problems (BVP) arising in physical situations in fluid mechanics are, in general, intractable by analytic techniques. In the last decade there has been a rapid increase in the application of integral equation techniques for the numerical solution of such problems [1,2,3]. One such method is the boundary integral equation method (BIE) which is based on Green's Formula [4] and enables one to reformulate certain BVP as integral equations. The reformulation has the effect of reducing the dimension of the problem by one. Because discretisation occurs only on the boundary in the BIE the system of equations generated by a BIE is considerably smaller than that generated by an equivalent finite difference (FD) or finite element (FE) approximation [5]. Application of the BIE in the field of fluid mechanics has in the past been limited almost entirely to the solution of harmonic problems concerning potential flows around selected geometries [3,6,7]. Little work seems to have been done on direct integral equation solution of viscous flow problems. Coleman [8] solves the biharmonic equation describing slow flow between two semi infinite parallel plates using a complex variable approach but does not consider the effects of singularities arising in the solution domain. Since the vorticity at any singularity becomes unbounded then the methods presented in [8] cannot achieve accurate results throughout the entire flow field.