Beyond the Einstein Addition Law and its Gyroscopic Thomas Precession: The Theory of Gyrogroups and Gyrovector Spaces

\"من نمی توانم تصادف را [در ریاضیات] تعریف کنم. اما 1 باید استدلال کند که تصادف همیشه می تواند ارتقا یابد یا به یک روبنا سازماندهی شود که در امتداد عناصر تصادفی یکپارچه شود. وجود یک تصادف مدرک قوی برای وجود یک نظریه پوششی. \" -Philip 1. Davis [Dav81] با اشاره به چرخش توماس، این کتاب تئوری گروه‌های gyروگروه و فضاهای ژیروبردار را ارائه می‌کند و خواننده را به بی‌نهایت هندسه هایپربولیک می‌برد که فراتر از نظریه خاص اینشتین است. نسبیت اندکی پس از معرفی آن توسط اینشتین در سال 1905 [Ein05]، نظریه نسبیت خاص (که ده سال بعد توسط اینشتین نامگذاری شد) تحت الشعاع ظاهر نسبیت عام قرار گرفت. متعاقباً، نمایش نسبیت خاص از خطوطی پیروی کرد که توسط مینکوفسکی تعیین شد، که در آن نقش سنجی geometry هذلولی تأکید نشده است. این را بدون شک می توان با عجیب بودن و ناآشنایی هندسه هذلولی توضیح داد [Bar98]. هدف این کتاب معکوس کردن روند نادیده گرفتن نقش هندسه هیپربولیک در نظریه نسبیت خاص است که توسط مینکوفسکی آغاز شده است، با تاکید بر نقش محوری هندسه هذلولی در این نظریه.

"I cannot define coincidence [in mathematics]. But 1 shall argue that coincidence can always be elevated or organized into a superstructure which perfonns a unification along the coincidental elements. The existence of a coincidence is strong evidence for the existence of a covering theory. " -Philip 1. Davis [Dav81] Alluding to the Thomas gyration, this book presents the Theory of gy­ rogroups and gyrovector spaces, taking the reader to the immensity of hyper­ bolic geometry that lies beyond the Einstein special theory of relativity. Soon after its introduction by Einstein in 1905 [Ein05], special relativity theory (as named by Einstein ten years later) became overshadowed by the ap­ pearance of general relativity. Subsequently, the exposition of special relativity followed the lines laid down by Minkowski, in which the role of hyperbolic ge­ ometry is not emphasized. This can doubtlessly be explained by the strangeness and unfamiliarity of hyperbolic geometry [Bar98]. The aim of this book is to reverse the trend of neglecting the role of hy­ perbolic geometry in the special theory of relativity, initiated by Minkowski, by emphasizing the central role that hyperbolic geometry plays in the theory.