Banach Algebras with Symbol and Singular Integral Operators

حدود پنجاه سال پیش، S. G. Mikhlin، در حل مسئله منظم‌سازی برای عملگرهای انتگرال منفرد دوبعدی [56]، به هر یک از این عملگرها تابعی را که او آن را نماد نامید، اختصاص داد و نشان داد که منظم‌سازی در صورتی ممکن است مدول نماد مثبت است. بعدها، مفهوم نماد به عملگرهای انتگرال منفرد چند بعدی (با ابعاد دلخواه) گسترش یافت [57، 58، 21، 22]. متعاقبا، سنتز عملگرهای انتگرال و دیفرانسیل منفرد [2، 8، 9] منجر به نظریه عملگرهای شبه دیفرانسیل [17، 35] شد (همچنین رجوع کنید به [35(1)-35(17)]*)، که طبیعتا با نمادهای آنها مشخص می شود. نقش مهمی در ساخت نمادها برای بسیاری از طبقات عملگرها توسط نظریه گلفاند در مورد ایده آل های حداکثر جبرهای Banach ایفا شد [201. با استفاده از این نظریه، معیارهایی برای Fredholmness عملگرهای انتگرال منفرد یک بعدی با ضرایب پیوسته [34 (42)]، عملگرهای Wiener-Hopf [37]، و عملگرهای انتگرال منفرد چند بعدی [38 (2)] به دست آمد. بررسی سیستم های معادلات شامل چنین عملگرهایی به مفهوم نماد ماتریسی منجر شده است [59، 12 (14)، 39، 41]. این مفهوم نه تنها برای سیستم‌ها، بلکه برای عملگرهای انتگرال منفرد با ضرایب تکه‌ای پیوسته (اسکالر) نقش اساسی دارد [44 (4)]. در عین حال، تلاش برای معرفی یک نماد (اسکالری یا ماتریسی) برای جبرهای دیگر شکست خورده است.

About fifty years aga S. G. Mikhlin, in solving the regularization problem for two-dimensional singular integral operators [56], assigned to each such operator a func­ tion which he called a symbol, and showed that regularization is possible if the infimum of the modulus of the symbol is positive. Later, the notion of a symbol was extended to multidimensional singular integral operators (of arbitrary dimension) [57, 58, 21, 22]. Subsequently, the synthesis of singular integral, and differential operators [2, 8, 9]led to the theory of pseudodifferential operators [17, 35] (see also [35(1)-35(17)]*), which are naturally characterized by their symbols. An important role in the construction of symbols for many classes of operators was played by Gelfand's theory of maximal ideals of Banach algebras [201. Using this the­ ory, criteria were obtained for Fredholmness of one-dimensional singular integral operators with continuous coefficients [34 (42)], Wiener-Hopf operators [37], and multidimensional singular integral operators [38 (2)]. The investigation of systems of equations involving such operators has led to the notion of matrix symbol [59, 12 (14), 39, 41]. This notion plays an essential role not only for systems, but also for singular integral operators with piecewise-continuous (scalar) coefficients [44 (4)]. At the same time, attempts to introduce a (scalar or matrix) symbol for other algebras have failed.