Axiomatic Utility Theory under Risk: Non-Archimedean Representations and Application to Insurance Economics

اولین تلاش‌ها برای توسعه یک نظریه سودمندی برای موقعیت‌های انتخاب در معرض خطر توسط کرامر (1728) و برنولی (1738) انجام شد. با توجه به پارادوکس معروف سن پترزبورگ! - قرعه کشی با ارزش پولی نامحدود - برنولی (1738، ص 209) مشاهده کرد که اکثر مردم مقدار قابل توجهی پول را برای شرکت در آن قمار خرج نمی کنند. برای توضیح این مشاهدات، برنولی (1738، صفحات 199-201) پیشنهاد کرد که ارزش پولی مورد انتظار باید با مطلوبیت مورد انتظار ("انتظار اخلاقی") به عنوان معیار مربوطه برای تصمیم گیری تحت ریسک جایگزین شود. با این حال، استدلال 2 برنولی و به ویژه انتخاب او از یک تابع مطلوبیت لگاریتمی به نظر می رسد تا حدی دلخواه باشد، زیرا آنها کاملاً بر اساس شهودی 3 مثال جذاب هستند. تا دو قرن بعد، فون نویمان و مورگنسترن (1947) ثابت کردند که اگر ترجیحات تصمیم گیرنده مفروضات خاصی را برآورده کند، می توان آنها را با مقدار مورد انتظار یک تابع مطلوبیت با ارزش واقعی که بر روی مجموعه پیامدها تعریف شده است، نشان داد. با وجود شکل ریاضی یکسان مطلوبیت مورد انتظار، نظریه فون نویمان و مورگنسترن و رویکرد برنولی، با این حال، برای بحث‌های جامعی درباره این پارادوکس رجوع کنید. منگر (1934)، ساموئلسون (1960)، (1977)، شپلی (1977a)، اومان (1977)، جورلند (1987)، و زابل (1987). 2Cramer (1728، ص 212)، از سوی دیگر، پیشنهاد کرد که سودمندی یک مقدار پول با جذر این مقدار داده می شود.

The first attempts to develop a utility theory for choice situations under risk were undertaken by Cramer (1728) and Bernoulli (1738). Considering the famous St. Petersburg Paradox! - a lottery with an infinite expected monetary value -Bernoulli (1738, p. 209) observed that most people would not spend a significant amount of money to engage in that gamble. To account for this observation, Bernoulli (1738, pp. 199-201) proposed that the expected monetary value has to be replaced by the expected utility ("moral expectation") as the relevant criterion for decision making under risk. However, Bernoulli's 2 argument and particularly his choice of a logarithmic utility function seem to be rather arbitrary since they are based entirely on intuitively 3 appealing examples. Not until two centuries later, did von Neumann and Morgenstern (1947) prove that if the preferences of the decision maker satisfy cer­ tain assumptions they can be represented by the expected value of a real-valued utility function defined on the set of consequences. Despite the identical mathematical form of expected utility, the theory of von Neumann and Morgenstern and Bernoulli's approach have, however, IFor comprehensive discussions of this paradox cf. Menger (1934), Samuelson (1960), (1977), Shapley (1977a), Aumann (1977), Jorland (1987), and Zabell (1987). 2Cramer (1728, p. 212), on the other hand, proposed that the utility of an amount of money is given by the square root of this amount.