Autour du nombre Pi

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Table des matières......Page 6
1. La méthode de duplication d\'Archimède......Page 10
2.1. Mesure des angles. Aire des secteurs de cercle......Page 17
2.2. Aire et longueur de l\'ellipse......Page 18
2.3. La spirale d\'Archimède......Page 20
2.4. Somme des puissances. Application à des calculs d\'aires......Page 22
2.5. Volumes de solides de révolution......Page 25
2.6. Aire latérale du tronc de cône. Aire de la sp11ère......Page 28
3. Le problème du cercle de Gauss et le comportement asymptotique de certaines fonctions arithmétiques : r(n) et d(n)......Page 31
4.1. La démonstration élémentaire classique......Page 38
4.2. La méthode de Barbier......Page 39
4.3 et 4.4. Utilisation de la géométrie intégrale......Page 40
4.5. La longueur des courbes de largeur constante......Page 41
Chapitre 2. La formule de Wallis et quelques autres......Page 46
1. Le produit infini de Viète......Page 47
2. Généralités sur les produits infinis......Page 49
3. Le produit infini de Wallis......Page 51
4. rac(Pi) et le jeu de pile ou face......Page 52
5. L\'équivalent de Stirling......Page 54
6. La formule de Gregory et Leibniz......Page 55
7. Une série d\'Euler pour l\'Arctangente......Page 57
8. D\'autres séries et intégrales pour exprimer Pi......Page 58
9. Formules du type de Machin......Page 61
10. Sur l\'équation etc......Page 64
11. Des fractions continues pour Pi......Page 68
12. La formule de S.Plouffe......Page 82
1. La place de Pi et de e dans un cours d\'Analyse......Page 86
2. Pi et les séries de Fourier......Page 91
3. Quelques démonstrations de la formule etc.......Page 96
4. La fonction dilogarithme......Page 99
5.1. La fonction somme des diviseurs......Page 101
5.2. La fonction de Möbius......Page 103
5.3. La probabilité pour qu\'un entier soit \"quadratfrei\"......Page 106
5.4. La fonction indicatrice d\'Euler......Page 107
6.1. Définition et calcul des nombres de Bernoulli......Page 109
6.2. Développements en série entière des tangente et cotangente......Page 110
6.3. La formule d\'Euler pour la cotangente......Page 111
6.4. Le produit eulérien pour le sinus......Page 112
6.5. Les formules d\'Euler pour les etc. 6.6. La formule sommatoire d\'Euler-Mac Laurin......Page 117
7. La fonction Gamma......Page 123
1.1. Trois problèmes célèbres......Page 132
1.2. Le processus géométrique......Page 134
2. Questions d\'irrationalité......Page 136
2.1. Irrationalité de rac(2) et de e......Page 137
2.3. Preuve de Niven de l\'irrationalité de Pi²......Page 138
3. La démonstration d\'irrationalité de Lambert......Page 139
4. Une démonstration de F.Beukers pour l\'irrationalité de zeta(2) et zeta(3)......Page 145
5.1. Les nombres de Liouville......Page 148
5.2. Cantor et la transcendance......Page 152
6.1. Quelques rappels algébriques......Page 155
6.2. Caractérisation linéaire des nombres algébriques......Page 159
6.3. Les nombres constructibles parmi les nombres algébriques......Page 161
6.4. La duplication du cube......Page 163
6.5. La trisection de l\'angle......Page 165
7. La transcendance de e et de Pi......Page 168
8. Une mesure d\'irrationalité pour Pi......Page 177
9. Constructibilité des polygones réguliers......Page 184
Chapitre 5 Pi et les intégrales elliptiques......Page 196
1.1. La lemniscate de Bernoulli......Page 197
1.2. Fagnano et la lemniscate......Page 200
2.1. Une formule de Gauss......Page 205
2.2. Gauss et les nombres Pi et etc......Page 207
3. Algorithmes de calcul des intégrales de première et deuxième espèce......Page 208
3.1. Dérivées des fonctions K(k) et E(k)......Page 209
3.2. Quelques relations fonctionnelles......Page 212
3.3. La relation de Legendre......Page 216
4. Un algorithme des frères Borwein pour calculer les décimales de Pi......Page 220
5. Abel et la division de la lemniscate......Page 222
5.1. La fonction phi d\'Abel......Page 223
5.2. La formule d\'addition d\'Abel et ses conséquences......Page 224
5.3. Les zéros et les pôles de la fonction phi......Page 226
5.4. Rappels sur la fonction de Weierstrass......Page 229
5.5. La fonction etc. associée à la fonction phi......Page 232
5.6. La solution du problème de la division de la lemniscate......Page 236
6. De Jacobi à Ramanujan......Page 238
6.1. Les fonctions thêta......Page 239
6.2. Expressions des fonction Thêta comme produits infinis......Page 241
6.3. Fonctions Thêta et intégrales elliptiques complètes......Page 242
7.1. Les fonctions modulaires......Page 244
7.2. Origine des formules de Ramanujan......Page 248
7.3. La fonction alpha......Page 250
7.4. Les intégrales elliptiques généralisées......Page 251
8. Un survol de la démonstration de J.Borwein et P.Borwein......Page 252
Exercices du chapitre 1......Page 258
Exercices du chapitre 2......Page 267
Exercices du chapitre 3......Page 278
Exercices du chapitre 4......Page 290
Exercices du chapitre 5......Page 306
Bibliographie......Page 316
Index......Page 324