Automated solution of differential equations by the finite element method : the FEniCS book

W......Page 0
Preface 6......Page 6
1.1 Fundamentals 1......Page 15
partial differential equation nonlinear, 39......Page 53
time-dependent, 48......Page 62
UnitSquare, 59......Page 73
62......Page 76
1.6 More examples 68......Page 82
self, 69......Page 83
Part I Methodology      75......Page 88
77......Page 89
forward mode AD, see automatic differentiation Fourier’s law, 78......Page 90
linear form, 80......Page 92
nonlinear, 82......Page 94
linear solver, 88......Page 100
residual, 89......Page 101
efficiency index, 93......Page 105
2.8 Historical notes 94......Page 106
unisolvence, 95......Page 107
96......Page 108
98......Page 110
3.4 H(div) finite elements 101......Page 113
Nedelec, 106......Page 118
3.6 L2 finite elements 108......Page 120
Discontinuous Lagrange, 109......Page 121
Morley, 112......Page 124
finite element assembly, see assembly finite element exterior calculus, 114......Page 126
4.1 Background 121......Page 132
122......Page 133
4.3 Mathematical framework 123......Page 134
4.4 Examples of elements 127......Page 138
4.5 Operations on the polynomial spaces 130......Page 141
133......Page 144
multilinear, 134......Page 145
discontinuous Lagrange element, see finite element discrete operator, 136......Page 147
action of, 137......Page 148
derivative of, 138......Page 149
adjoint of, 139......Page 150
5.7 A note on the order of trial and test functions 140......Page 151
Argyris element, see finite element Arnold-Winther element, see finite element assembly, 141......Page 152
implementation, 143......Page 154
symmetric application of, 144......Page 155
parallel implementation, 145......Page 156
matrix-free method, 146......Page 157
quadrature representation, 147......Page 158
optimization of, 148......Page 159
7.3 Performance comparisons 153......Page 164
7.4 Automatic selection of representation 158......Page 169
tensor representation, 159......Page 170
161......Page 172
8.3 Extensions and limitations 162......Page 173
optimization of, 163......Page 174
topological, 164......Page 175
9.3 A graph problem 166......Page 177
geometric, 167......Page 178
BLAS, 168......Page 179
9.6 Notes on implementation 169......Page 180
Part II Implementation      171......Page 181
DOLFIN, 173......Page 182
C++, 174......Page 183
vector, 176......Page 185
shared memory, 216......Page 225
10.5 Historical notes 224......Page 233
SFC, 227......Page 235
compile_form, 228......Page 236
232......Page 240
234......Page 242
235......Page 243
236......Page 244
11.9 Historical notes 237......Page 245
239......Page 247
12.2 Performance of optimizations 240......Page 248
12.4 Historical notes 246......Page 254
prime basis, 247......Page 255
Dubiner polynomial, 248......Page 256
13.3 Other polynomial spaces 251......Page 259
13.4 Conveying topological information to clients 253......Page 261
13.6 Overview of fundamental class structure 254......Page 262
typemap, 257......Page 264
14.3 Errors encountered when using Instant 262......Page 269
14.4 Instant explained 263......Page 270
14.5 Instant API 267......Page 274
Weave, 272......Page 279
SyFi, 273......Page 280
15.2 SyFi: symbolic finite elements 275......Page 282
15.3 SFC: SyFi form compiler 277......Page 284
15.4 Code generation design 280......Page 287
UFC, 283......Page 290
284......Page 291
16.3 The UFC interface 285......Page 292
290......Page 297
reference cell, 294......Page 301
16.6 Discussion 301......Page 308
16.7 Historical notes 302......Page 309
weak form, 303......Page 310
17.1 Overview 304......Page 311
306......Page 313
interior measure, 307......Page 314
terminal value, 309......Page 316
operator, 315......Page 322
319......Page 326
symbolic differentiation, 324......Page 331
tree traversal, 329......Page 336
336......Page 343
337......Page 344
17.11 Acknowledgements 338......Page 345
Unicorn, 339......Page 346
18.2 Unified continuum modeling 340......Page 347
18.3 Space-time general Galerkin discretization 341......Page 348
18.4 Implementation 343......Page 350
18.5 Solving continuum mechanics problems 354......Page 361
18.6 Acknowledgments 361......Page 368
SUPG, see stabilization SWIG, 363......Page 369
19.3 SWIG and the DOLFIN Python interface 368......Page 374
19.4 JIT compilation of UFL forms, Expressions and SubDomains 380......Page 386
debugging, 381......Page 387
Part III Applications      383......Page 388
Stokes equations, 385......Page 389
20.2 Finite element formulations for the mixed Stokes problem 386......Page 390
stabilization, 389......Page 393
20.4 Numerical tests 390......Page 394
20.5 Conclusions 397......Page 401
incompressible Navier-Stokes equations, 399......Page 402
21.2 Implementation 400......Page 403
Chorin’s method, 401......Page 404
21.4 Test problems and results 408......Page 411
21.5 Summary of results 416......Page 419
21.6 Discussion 418......Page 421
21.7 Conclusions 419......Page 422
transition to turbulence, 421......Page 424
energy conservation, 423......Page 426
Bubble element, see finite element Burgers’ equation, 431......Page 434
22.4 Conclusions 439......Page 442
441......Page 444
23.2 Preliminaries 443......Page 446
23.3 Gender differences in the intracranial vasculature 445......Page 448
23.4 CFD versus 4D PC MRA in an experimental canine aneurysm 448......Page 451
23.5 Patient-specific Circle of Willis 451......Page 454
subarachnoid space, 455......Page 458
Newtonian fluid, 456......Page 459
24.3 Numerical experiments 457......Page 460
24.4 Conclusions 470......Page 473
water waves, 471......Page 474
25.2 DOLFWAVE 473......Page 476
potential, 475......Page 478
25.4 Linear dispersion relation 478......Page 481
25.5 Numerical methods 480......Page 483
483......Page 486
sponge-layer, 484......Page 487
25.8 Linear stability analysis 485......Page 488
25.9 Model validation and numerical applications 489......Page 492
25.10 Conclusions 501......Page 504
solid mechanics, 505......Page 508
26.2 Governing equations 506......Page 509
linear elasticity, 508......Page 511
time integration, 510......Page 513
511......Page 514
26.6 Implementation and examples 514......Page 517
26.7 Future developments 524......Page 527
525......Page 528
27.1 Brief overview of nonlinear elasticity theory 526......Page 529
27.2 Numerical methods and further implementation details 530......Page 533
534......Page 537
27.4 Conclusions 541......Page 544
543......Page 545
28.4 Adaptivity and a posteriori error estimation 544......Page 546
28.5 Robust fluid-structure coupling 545......Page 547
28.6 Applications 546......Page 548
28.7 Acknowledgments 551......Page 553
553......Page 555
ALE, 555......Page 557
29.3 The FSI solver 556......Page 558
560......Page 562
29.5 Numerical examples 565......Page 567
CBC.Swing, 568......Page 570
partition of unity method, 571......Page 572
30.2 Partition-of-unity/extended finite element method 572......Page 573
30.3 Software components 574......Page 575
30.4 Design and implementation 576......Page 577
30.5 Examples 577......Page 578
30.6 Summary 583......Page 584
mantle convection, 585......Page 585
Raviart-Thomas element, see finite element Rayleigh number, 586......Page 586
mixed finite element discretization, 588......Page 588
filtering, 591......Page 591
31.5 Results 594......Page 594
reverse mode AD, see automatic differentiation Robin boundary condition, see boundary condition root-mean-square velocity, 597......Page 597
transport, 601......Page 601
steepest descent, 602......Page 602
32.5 Evaluation of gradients by duality arguments 603......Page 603
32.6 Aspects of the implementation 605......Page 605
32.7 Numerical experiments 606......Page 606
32.8 Results and conclusions 609......Page 609
sarcoplasmic reticulum, 611......Page 610
t-tubule, 612......Page 611
33.3 Numerical methods for the continuous system 615......Page 614
time stepping, 623......Page 622
33.5 Discussion 627......Page 626
waveguide, 629......Page 627
operating, 630......Page 628
spurious mode, 634......Page 632
hollow rectangular, 637-639......Page 635
642......Page 640
PyTrilinos, 643......Page 641
35.2 Overview of CBC.Block 644......Page 642
645......Page 643
35.4 Conclusions 654......Page 652
microstrip, see shielded microstrip mixed finite element method, 657......Page 654
36.2 Why does discrete stability matter? 658......Page 655
36.3 Discrete stability 659......Page 656
reduced discrete stability, 662......Page 659
36.5 Automating the stability testing 663......Page 660
mixed finite element discretization, 667......Page 664
36.7 Conclusions 671......Page 668
1. Applicability and definitions 681......Page 676
2. Verbatim copying 682......Page 677
4. Modifications 683......Page 678
7. Aggregation with independent works 685......Page 680
10. Future revisions of this license 686......Page 681
11. Relicensing 687......Page 682
References 689......Page 683
List of authors 673......Page 669
Index 717......Page 710
transpose, 312......Page 319
boundary markers, 188......Page 197
iterators, 187......Page 196
vertex, 185......Page 194
index notation, 310......Page 317
Dirichlet, 7......Page 21
202......Page 211
192......Page 201
expression, 196......Page 205
distributed, 190......Page 199
mesh, 6......Page 20
mixed function space, 193......Page 202
SLEPc, 36......Page 50
list_lu_solver_methods, 178......Page 187
degrees of freedom, 12......Page 26
205......Page 214
refinement, 189......Page 198
reading, 184......Page 193
topology, 186......Page 195
183......Page 192
nonlinear system, 182......Page 191
time-dependent PDE, see partial differential equation timing, 213......Page 222
progress bar, 212......Page 221
time series, 209......Page 218
linear system, 35......Page 49
increasing efficiency, 52......Page 66
199......Page 208
restriction, 314......Page 321
logging, 210......Page 219
preprocessing, 206......Page 215
info, 11......Page 25
instant-showcache, 264......Page 271
VTK, 18......Page 32
pydoc, 13......Page 27
177......Page 186
204......Page 213
event-driven simulator, 625......Page 624
adaptivity, 92......Page 104
563......Page 565
advection-diffusion equation, 587......Page 587
589......Page 589
Piola mapping, 87......Page 99
131......Page 142
algorithm, 142......Page 153
Jacobian, 47......Page 61
Brezzi inf-sup condition, 661......Page 658
Beltrami flow, 415......Page 418
649......Page 647
Robin, 65......Page 79
200......Page 209
mixed problem, 79......Page 91
boundary integral, 201......Page 210
Neumann, 31......Page 45
signature, 266......Page 273
557......Page 559
Cea’s lemma, 90......Page 102
Ciarlet finite element definition, see finite element code generation utilities, 288......Page 295
computational graph, 322......Page 329
consistent splitting scheme, 403......Page 406
contour plot, 29......Page 43
transformation, 60......Page 74
CSS, see consistent splitting scheme cylinder flow, 413......Page 416
613......Page 612
dimension-independent code, 37......Page 51
614......Page 613
636......Page 634
half-loaded rectangular, 639-641......Page 637
641......Page 639
dispersion relation, 479......Page 482
driven cavity, 409......Page 412
goal oriented, 91......Page 103
180......Page 189
dispersion analysis, 633......Page 631
elastodynamics, 523......Page 526
error functional, 24......Page 38
181......Page 190
Lagrange finite element, see finite element Lagrangian framework, 554......Page 556
16......Page 30
expression transformation, 331......Page 338
208......Page 217
ParaView, 207......Page 216
finite difference time discretization, 49......Page 63
Arnold-Winther, 105......Page 117
Brezzi-Douglas-Marini, 103......Page 115
Bubble element, 113......Page 125
Crouzeix-Raviart, 100......Page 112
83......Page 95
Hermite, 111......Page 123
list of supported, 191......Page 200
Mardal-Tai-Winther, 104......Page 116
107......Page 119
Raviart-Thomas, 102......Page 114
flops, 154......Page 165
of structured mesh, 27......Page 41
canonical, 135......Page 146
evaluation, 194......Page 203
subfunction, 195......Page 204
local-to-global mapping, 85......Page 97
functional, 23......Page 37
G2, 404......Page 407
Gateaux derivative, 46......Page 60
Gmsh, 463......Page 466
saddle point problem, 407......Page 410
multi-material domain, 56......Page 70
vertex numbering, 296......Page 303
300......Page 307
hyperelasticity, 521......Page 524
incremental pressure correction, 402......Page 405
interpolation, 14......Page 28
triangle, 295......Page 302
299......Page 306
metaclass, 220......Page 229
kinetic energy, 424......Page 427
660......Page 657
UMFPACK, 10......Page 24
81......Page 93
132......Page 143
loop hoisting, 149......Page 160
material model, 527......Page 530
SCOTCH, 217......Page 226
nodal basis, 84......Page 96
SciPy, 223......Page 232
Orr-Sommerfeld equation, 433......Page 436
Picard iteration, 40......Page 54
plasticity, 509......Page 512
variational problem, 2......Page 16
variable coefficient, 22......Page 36
supplemented, 252......Page 260
Runge-Kutta, 481......Page 484
590......Page 590
pressure-driven channel, 411......Page 414
21......Page 35
projection, 20......Page 34
quadrature element, 513......Page 516
shared pointer, 369......Page 375
640......Page 638
TetGen, 617......Page 616
iterative linear solvers, 593......Page 593
669......Page 666
Taylor-Green vortex, 412......Page 415
438......Page 441
trial function, 3......Page 17
531......Page 534
370......Page 376
under-relaxation, 42......Page 56
Python, 175......Page 184
variational form, 197......Page 206
632......Page 630
638......Page 636
Windkessel model, 258......Page 265