Asymptotics for Orthogonal Polynomials

اخیراً توجه زیادی به نظریه چند جمله ای های متعامد شده است. با این حال، تعداد کتاب‌هایی که به این موضوع می‌پردازند، محدود است. این تک نگاری برخی از نتایج مربوط به رفتار مجانبی چند جمله ای های متعامد را در زمانی که درجه به بی نهایت میل می کند، با فرض تنها دانش پایه از تحلیل واقعی و پیچیده گرد هم می آورد. درمان گسترده‌ای که با دانش ویژه در مورد اندازه‌گیری متعامد شروع می‌شود، برای چندجمله‌ای متعامد در یک مجموعه فشرده و در یک مجموعه نامحدود ارائه می‌شود. یکی دیگر از رویکردهای ممکن، شروع از ویژگی‌های ضرایب در رابطه عود سه مدت برای چند جمله‌ای متعامد است. این کار با استفاده از روش های تئوری پراکندگی (گسسته) انجام می شود. روش جدیدی بر اساس قضایای حدی در نظریه احتمال، برای به دست آوردن فرمول مجانبی برای برخی چند جمله ای ها نیز ارائه شده است. پیامدهای مختلف همه نتایج توصیف شده و کاربردهایی از ماتریس‌های تصادفی و فرآیندهای مرگ تولد گرفته تا عملگرهای گسسته شرودینگر ارائه شده است که تعامل نزدیک با شاخه‌های مختلف ریاضیات کاربردی را نشان می‌دهد.

Recently there has been a great deal of interest in the theory of orthogonal polynomials. The number of books treating the subject, however, is limited. This monograph brings together some results involving the asymptotic behaviour of orthogonal polynomials when the degree tends to infinity, assuming only a basic knowledge of real and complex analysis. An extensive treatment, starting with special knowledge of the orthogonality measure, is given for orthogonal polynomials on a compact set and on an unbounded set. Another possible approach is to start from properties of the coefficients in the three-term recurrence relation for orthogonal polynomials. This is done using the methods of (discrete) scattering theory. A new method, based on limit theorems in probability theory, to obtain asymptotic formulas for some polynomials is also given. Various consequences of all the results are described and applications are given ranging from random matrices and birth-death processes to discrete Schrödinger operators, illustrating the close interaction with different branches of applied mathematics.