Arithmetic on Modular Curves

یکی از جالب‌ترین مسائل تئوری اعداد مدرن این است که حسابی انواع آبلی را با مقادیر ویژه توابع L مرتبط مرتبط کند. حدس بسیار دقیقی برای منحنی های بیضوی توسط Birc~ و Swinnerton-Dyer فرموله شده است و توسط Tate به گونه های آبلی تعمیم داده شده است. شواهد عددی کاملاً دلگرم کننده است. یک شکل ضعیف از حدس ها برای منحنی های بیضوی CM توسط Coates و Wiles تأیید شده است، و اخیراً توسط K. Rubin تقویت شده است. اما به نظر می‌رسد که اثبات کلی حدس‌ها هنوز فاصله زیادی دارد. چند سال پیش، B. Mazur [26] یک آنالوگ ضعیف از این c- jecture ها را ثابت کرد. بگذارید N اول باشد و وزنی دو شکل جدید برای r 0 (N) باشد. برای یک نویسه دیریکله اولیه X از هادی اول به N، اجازه دهید i\f (X) قسمت جبری L (f , X, 1) را نشان دهد (به زیر مراجعه کنید). مازور در [26] نشان داد که کلاس باقیمانده مدول Af (X) ایده آل "آیزنشتاین" اطلاعاتی در مورد حساب Xo (N) می دهد. کار او دو جنبه دارد: فرمول‌های همخوانی برای مقادیر Af(X) و آرگومان نزولی. فرمول‌های همخوانی مازور توسط S. Kamienny و نویسنده [17] به r 1 (N)، N اول تعمیم داده شد، و در مقاله‌ای که به زودی ارائه خواهد شد، Kamienny استدلال نزول را به این مورد تعمیم داده است.

One of the most intriguing problems of modern number theory is to relate the arithmetic of abelian varieties to the special values of associated L-functions. A very precise conjecture has been formulated for elliptic curves by Birc~ and Swinnerton-Dyer and generalized to abelian varieties by Tate. The numerical evidence is quite encouraging. A weakened form of the conjectures has been verified for CM elliptic curves by Coates and Wiles, and recently strengthened by K. Rubin. But a general proof of the conjectures seems still to be a long way off. A few years ago, B. Mazur [26] proved a weak analog of these c- jectures. Let N be prime, and be a weight two newform for r 0 (N) . For a primitive Dirichlet character X of conductor prime to N, let i\ f (X) denote the algebraic part of L (f , X, 1) (see below). Mazur showed in [ 26] that the residue class of Af (X) modulo the "Eisenstein" ideal gives information about the arithmetic of Xo (N). There are two aspects to his work: congruence formulae for the values Af(X) , and a descent argument. Mazur's congruence formulae were extended to r 1 (N), N prime, by S. Kamienny and the author [17], and in a paper which will appear shortly, Kamienny has generalized the descent argument to this case.