Approximate Quantum Markov Chains

این کتاب مقدمه‌ای بر زنجیره‌های مارکوف کوانتومی است و توضیح می‌دهد که چگونه این مفهوم با این سؤال مرتبط است که چگونه می‌توان یک سیستم مکانیکی کوانتومی گمشده را از یک زیرسیستم همبسته بازیابی کرد. برای دستیابی به این هدف، نابرابری پردازش داده را تقویت می کنیم به طوری که بیانیه ای در مورد بازسازی اطلاعات از دست رفته را نشان می دهد.

مشکل اصلی برای درک رفتار زنجیره های مارکوف کوانتومی از این واقعیت ناشی می شود که عملگرهای مکانیکی کوانتومی به طور کلی رفت و آمد نمی کنند. در نتیجه ما با توضیح دو تکنیک در مورد نحوه برخورد با ماتریس‌های غیر جابه‌جایی شروع می‌کنیم: روش پیچش طیفی و نظریه درونیابی پیچیده. هنگامی که خواننده با این تکنیک ها آشنا شد، نابرابری جدیدی ارائه می شود که نابرابری مشهور گلدن تامپسون را به طور دلخواه به بسیاری از ماتریس ها گسترش می دهد. این نابرابری عنصر کلیدی در درک زنجیره‌های مارکوف کوانتومی تقریبی است و به سؤالی از تحلیل ماتریسی که از سال 1973 باز بود، پاسخ می‌دهد، یعنی اینکه آیا می‌توان نابرابری ماتریس سه‌گانه لیب را به بیش از سه ماتریس گسترش داد. در نهایت، ما با دقت در مورد خواص زنجیره‌های مارکوف کوانتومی تقریبی و پیامدهای آنها بحث می‌کنیم.
این کتاب برای دانشجویان فارغ‌التحصیل که می‌خواهند در مورد زنجیره‌های مارکوف کوانتومی تقریبی و همچنین دانشمندان با تجربه‌تری که می‌خواهند وارد این زمینه شوند، طراحی شده است. اکثریت ریاضی لازم است، اما هیچ دانش قبلی از مکانیک کوانتومی لازم نیست.

This book is an introduction to quantum Markov chains and explains how this concept is connected to the question of how well a lost quantum mechanical system can be recovered from a correlated subsystem. To achieve this goal, we strengthen the data-processing inequality such that it reveals a statement about the reconstruction of lost information.

The main difficulty in order to understand the behavior of quantum Markov chains arises from the fact that quantum mechanical operators do not commute in general. As a result we start by explaining two techniques of how to deal with non-commuting matrices: the spectral pinching method and complex interpolation theory. Once the reader is familiar with these techniques a novel inequality is presented that extends the celebrated Golden-Thompson inequality to arbitrarily many matrices. This inequality is the key ingredient in understanding approximate quantum Markov chains and it answers a question from matrix analysis that was open since 1973, i.e., if Lieb's triple matrix inequality can be extended to more than three matrices. Finally, we carefully discuss the properties of approximate quantum Markov chains and their implications.
The book is aimed to graduate students who want to learn about approximate quantum Markov chains as well as more experienced scientists who want to enter this field. Mathematical majority is necessary, but no prior knowledge of quantum mechanics is required.