Applied stochastic analysis

Cover......Page 1
Title page......Page 4
Introduction to the Series......Page 14
Preface......Page 18
Notation......Page 20
Part 1 . Fundamentals......Page 24
  1.1. Elementary Examples......Page 26
  1.2. Probability Space......Page 28
  1.3. Conditional Probability......Page 29
  1.4. Discrete Distributions......Page 30
  1.5. Continuous Distributions......Page 31
  1.6. Independence......Page 35
  1.7. Conditional Expectation......Page 37
  1.8. Notions of Convergence......Page 39
  1.9. Characteristic Function......Page 40
  1.10. Generating Function and Cumulants......Page 42
  1.11. The Borel-Cantelli Lemma......Page 44
  Exercises......Page 47
  Notes......Page 50
  2.1. The Law of Large Numbers......Page 52
  2.2. Central Limit Theorem......Page 54
  2.3. Cramér’s Theorem for Large Deviations......Page 55
  2.4. Statistics of Extrema......Page 63
  Exercises......Page 65
  Notes......Page 67
 Chapter 3. Markov Chains......Page 68
  3.1. Discrete Time Finite Markov Chains......Page 69
  3.2. Invariant Distribution......Page 71
  3.3. Ergodic Theorem for Finite Markov Chains......Page 74
  3.4. Poisson Processes......Page 76
  3.5. ��-processes......Page 77
  3.6. Embedded Chain and Irreducibility......Page 80
  3.8. Time Reversal......Page 82
  3.9. Hidden Markov Model......Page 84
  3.10. Networks and Markov Chains......Page 90
  Exercises......Page 94
  Notes......Page 96
 Chapter 4. Monte Carlo Methods......Page 98
  4.1. Numerical Integration......Page 99
  4.2. Generation of Random Variables......Page 100
  4.3. Variance Reduction......Page 106
  4.4. The Metropolis Algorithm......Page 110
  4.5. Kinetic Monte Carlo......Page 114
  4.6. Simulated Tempering......Page 115
  4.7. Simulated Annealing......Page 117
  Exercises......Page 119
  Notes......Page 121
 Chapter 5. Stochastic Processes......Page 124
  5.1. Axiomatic Construction of Stochastic Process......Page 125
  5.2. Filtration and Stopping Time......Page 127
  5.3. Markov Processes......Page 129
  5.4. Gaussian Processes......Page 132
  Exercises......Page 136
  Notes......Page 137
 Chapter 6. Wiener Process......Page 140
  6.1. The Diffusion Limit of Random Walks......Page 141
  6.2. The Invariance Principle......Page 143
  6.3. Wiener Process as a Gaussian Process......Page 144
  6.4. Wiener Process as a Markov Process......Page 148
  6.5. Properties of the Wiener Process......Page 149
  6.6. Wiener Process under Constraints......Page 153
  6.7. Wiener Chaos Expansion......Page 155
  Exercises......Page 158
  Notes......Page 160
 Chapter 7. Stochastic Differential Equations......Page 162
  7.1. Itô Integral......Page 163
  7.2. Itô’s Formula......Page 167
  7.3. Stochastic Differential Equations......Page 171
  7.4. Stratonovich Integral......Page 177
  7.5. Numerical Schemes and Analysis......Page 179
  7.6. Multilevel Monte Carlo Method......Page 185
  Exercises......Page 188
  Notes......Page 190
 Chapter 8. Fokker-Planck Equation......Page 192
  8.1. Fokker-Planck Equation......Page 193
  8.2. Boundary Condition......Page 196
  8.3. The Backward Equation......Page 198
  8.4. Invariant Distribution......Page 199
  8.5. The Markov Semigroup......Page 201
  8.6. Feynman-Kac Formula......Page 203
  8.7. Boundary Value Problems......Page 204
  8.8. Spectral Theory......Page 206
  8.9. Asymptotic Analysis of SDEs......Page 208
  8.10. Weak Convergence......Page 211
  Exercises......Page 216
  Notes......Page 217
Part 2 . Advanced Topics......Page 220
 Chapter 9. Path Integral......Page 222
  9.1. Formal Wiener Measure......Page 223
  9.2. Girsanov Transformation......Page 226
  9.3. Feynman-Kac Formula Revisited......Page 230
  Notes......Page 231
 Chapter 10. Random Fields......Page 232
  10.1. Examples of Random Fields......Page 233
  10.2. Gaussian Random Fields......Page 235
  10.3. Gibbs Distribution and Markov Random Fields......Page 237
  Notes......Page 239
 Chapter 11. Introduction to Statistical Mechanics......Page 240
  11.1. Thermodynamic Heuristics......Page 242
  11.2. Equilibrium Statistical Mechanics......Page 247
  11.3. Generalized Langevin Equation......Page 256
  11.4. Linear Response Theory......Page 259
  11.5. The Mori-Zwanzig Reduction......Page 261
  11.6. Kac-Zwanzig Model......Page 263
  Exercises......Page 265
  Notes......Page 267
 Chapter 12. Rare Events......Page 268
  12.1. Metastability and Transition Events......Page 269
  12.2. WKB Analysis......Page 271
  12.3. Transition Rates......Page 272
  12.4. Large Deviation Theory and Transition Paths......Page 273
  12.5. Computing the Minimum Energy Paths......Page 276
  12.6. Quasipotential and Energy Landscape......Page 277
  Exercises......Page 282
  Notes......Page 283
 Chapter 13. Introduction to Chemical Reaction Kinetics......Page 284
  13.1. Reaction Rate Equations......Page 285
  13.2. Chemical Master Equation......Page 286
  13.3. Stochastic Differential Equations......Page 288
  13.5. The Large Volume Limit......Page 289
  13.6. Diffusion Approximation......Page 291
  13.7. The Tau-leaping Algorithm......Page 292
  13.8. Stationary Distribution......Page 294
  13.9. Multiscale Analysis of a Chemical Kinetic System......Page 295
  Notes......Page 300
  A. Laplace Asymptotics and Varadhan’s Lemma......Page 302
  B. Gronwall’s Inequality......Page 304
  C. Measure and Integration......Page 305
  D. Martingales......Page 307
  E. Strong Markov Property......Page 308
  F. Semigroup of Operators......Page 309
 Bibliography......Page 312
 Index......Page 324
Back Cover......Page 329