Applied solid mechanics

Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Series-title......Page 4
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Contents......Page 7
Illustrations......Page 11
Prologue......Page 16
1.1 Introduction......Page 18
1.2 Hooke’s law......Page 19
1.3 Lagrangian and Eulerian coordinates......Page 20
1.4 Strain......Page 21
1.5 Stress......Page 24
1.6 Conservation of momentum......Page 27
1.7 Linear elasticity......Page 28
1.8 The incompressibility approximation......Page 30
1.9 Energy......Page 31
1.10 Boundary conditions and well-posedness......Page 33
1.11.1 Cartesian coordinates......Page 36
1.11.2 Cylindrical polar coordinates......Page 37
1.11.3 Spherical polar coordinates......Page 39
Exercises......Page 41
2.1 Introduction......Page 45
2.2.1 Isotropic expansion......Page 46
2.2.3 Uniaxial stretching......Page 48
2.2.4 Biaxial strain......Page 50
2.2.5 General linear displacements......Page 52
2.3 Antiplane strain......Page 54
2.4 Torsion......Page 56
2.5 Multiply-connected domains......Page 59
2.6.2 The Airy stress function......Page 64
2.6.3 Boundary conditions......Page 66
2.6.4 Plane strain in a disc......Page 68
2.6.5 Plane strain in an annulus......Page 70
2.6.6 Plane strain in a rectangle......Page 73
2.6.7 Plane strain in a semi-infinite strip......Page 75
2.6.8 Plane strain in a half-space......Page 79
2.6.9 Plane strain with a body force......Page 82
2.7 Compatibility......Page 85
2.8.1 General observations......Page 87
2.8.2 Plane strain revisited......Page 88
2.8.3 Plane stress......Page 91
2.8.4 Axisymmetric geometry......Page 93
2.8.5 The Galerkin representation......Page 95
2.8.6 Papkovich–Neuber potentials......Page 96
2.8.7 Maxwell and Morera potentials......Page 98
2.9.1 The delta-function......Page 99
2.9.2 Point and line forces......Page 101
2.9.3 The Green’s tensor......Page 105
2.9.4 Point incompatibility......Page 108
Exercises......Page 110
3.1 Introduction......Page 120
3.2.1 Normal modes......Page 121
3.2.2 Plane waves......Page 127
3.2.3 Scattering......Page 128
3.2.4 P-waves and S-waves......Page 130
3.2.5 Mode conversion in plane strain......Page 132
3.2.6 Love waves......Page 134
3.2.7 Rayleigh waves......Page 137
3.3 Dynamic stress functions......Page 138
3.4.1 Waves in a circular cylinder......Page 141
3.4.2 Waves in a sphere......Page 145
3.5.1 Solutions in the time domain......Page 149
3.5.2 Fundamental solutions......Page 150
3.5.3 Characteristics......Page 154
3.6 Moving singularities......Page 155
Exercises......Page 160
4.1 Introduction......Page 167
4.2 Longitudinal displacement of a bar......Page 168
4.3 Transverse displacements of a string......Page 169
4.4.1 Derivation of the beam equation......Page 170
4.4.3 Compression of a beam......Page 173
4.5 Linear rod theory......Page 175
4.6.1 Derivation of the plate equation......Page 179
4.6.2 Boundary conditions......Page 183
4.6.3 Simple solutions of the plate equation......Page 185
4.6.4 An inverse plate problem......Page 186
4.6.5 More general in-plane stresses......Page 187
4.7.2 The strain components......Page 189
4.7.3 The von Karman equations......Page 192
4.8.1 Strain in a weakly curved shell......Page 194
4.8.2 Linearised equations for a weakly curved shell......Page 196
4.8.3 Solutions for a thin shell......Page 197
4.9.1 Derivation of the model......Page 204
4.9.2 Example: deflection of a diving board......Page 207
4.9.3 Weakly nonlinear theory and buckling......Page 208
4.10 Nonlinear rod theory......Page 212
4.11.1 Gravity-torsional waves......Page 215
4.11.2 Travelling waves on a beam......Page 217
4.11.3 Weakly nonlinear waves on a beam......Page 219
4.12 Concluding remarks......Page 221
Exercises......Page 222
5.1 Introduction......Page 232
5.2.1 Deformation and strain......Page 233
5.2.2 The Piola–Kirchhoff stress tensors......Page 235
5.2.3 The momentum equation......Page 236
5.2.4 Example: one-dimensional nonlinear elasticity......Page 237
5.3.1 Polar decomposition......Page 238
5.3.2 Strain invariants......Page 239
5.3.3 Frame indifference and isotropy......Page 241
5.3.4 The energy equation......Page 243
5.3.5 Hyperelasticity......Page 244
5.3.6 Linear elasticity......Page 247
5.3.7 Incompressibility......Page 248
5.3.8 Examples of constitutive relations......Page 249
5.4.1 Principal stresses and strains......Page 250
5.4.2 Biaxial loading of a square membrane......Page 251
5.4.3 Blowing up a balloon......Page 252
5.4.4 Cavitation......Page 254
Exercises......Page 256
6.1 Introduction......Page 262
6.2 Antiplane strain in a thin plate......Page 263
6.3.1 Non-dimensionalisation and scaling......Page 265
6.3.2 Dimensionless equations......Page 267
6.3.3 Leading-order equations......Page 269
6.4.1 Boundary layer scalings......Page 270
6.4.2 Equations and boundary conditions......Page 272
6.4.3 Asymptotic expansions......Page 274
6.5.1 Background......Page 278
6.5.2 Scalings......Page 279
6.5.3 Leading-order equations......Page 280
6.6.1 Dimensionless equations......Page 284
6.6.2 Asymptotic structure of the solution......Page 286
6.6.3 Leading-order equations......Page 287
6.6.4 Longitudinal stretching......Page 288
6.7.1 Dimensionless equations......Page 290
6.7.2 Constitutive relations......Page 292
6.8.1 Geometry of the shell......Page 295
6.8.2 Dimensionless equations......Page 296
6.8.3 Leading-order equations......Page 297
6.9 Concluding remarks......Page 299
Exercises......Page 300
7.1 Introduction......Page 304
7.2.1 Physical background......Page 305
7.2.2 Mode III cracks......Page 307
(ii) Plastic zone......Page 310
(iii) Tip cohesion......Page 311
7.2.3 Mathematical methodologies for crack problems......Page 312
7.2.4 Mode II cracks......Page 313
7.2.5 Mode I cracks......Page 321
7.2.6 Dynamic fracture......Page 325
7.3.1 Contact of elastic strings......Page 326
7.3.2 Other thin solids......Page 330
7.3.3 Smooth contact in plane strain......Page 334
7.4 Concluding remarks......Page 337
Exercises......Page 338
8.1 Introduction......Page 345
8.2.1 Static behaviour......Page 347
8.2.2 Granular flow......Page 348
8.2.3 Example: a tunnel in granular rock......Page 351
8.3 Dislocation theory......Page 354
8.4.1 Torsion problems......Page 361
8.4.2 Plane strain......Page 367
8.4.3 Three-dimensional yield conditions......Page 370
8.5 Kinematics......Page 375
8.7 Conservation of energy......Page 377
8.8 The flow rule......Page 379
8.9 Simultaneous elasticity and plasticity......Page 381
8.10.1 Torsion revisited......Page 382
8.10.2 Gun barrel revisited......Page 383
8.10.3 Luders bands......Page 385
8.11 Concluding remarks......Page 387
Exercises......Page 389
9.1 Introduction......Page 395
9.2.1 Introduction......Page 396
9.2.2 Springs and dashpots......Page 397
9.2.3 Three-dimensional linear viscoelasticity......Page 401
9.2.4 Large-strain viscoelasticity......Page 403
9.3 Thermoelasticity......Page 405
9.4.1 One-dimensional homogenisation......Page 408
9.4.2 Two-dimensional homogenisation......Page 412
9.4.3 Three-dimensional homogenisation......Page 419
9.4.4 Waves in periodic media......Page 421
9.5 Poroelasticity......Page 425
9.6 Anisotropy......Page 430
Exercises......Page 434
Epilogue......Page 443
A1 Framework......Page 445
A2 Vectors and tensors......Page 446
A3 Derivatives of basis vectors......Page 447
A4 Scalar and vector fields grad, div and curl......Page 448
A5 Strain in curvilinear coordinates......Page 451
A7.1 Cylindrical polar coordinates......Page 453
A7.2 Spherical polar coordinates......Page 455
References......Page 457
Index......Page 459