Applications of Liapunov Methods in Stability

سال 1992 صدمین سالگرد انتشار تک نگاری مشهور "مشکل عمومی ثبات حرکت" نوشته A. M. Liapunov است. این سالگرد الهام بخش تفکر در مورد روشی است که نظریه و کاربردها در این قرن توسعه یافته اند. اولین مشاهداتی که می توان انجام داد این است که به اصطلاح "روش دوم"، که امروزه به عنوان "روش تابع لیاپانوف" شناخته می شود، بیش از روش اول مورد توجه قرار گرفته است. اجازه دهید به مطالعه موارد بحرانی نیز اشاره کنیم که اخیراً در ارتباط با مطالعه انشعاب ها و تثبیت غیرخطی توجه بیشتری را به خود جلب کرده است. یکی از دلایل محبوبیت رویکرد تابع لیاپانوف ممکن است این واقعیت باشد که در بسیاری از موقعیت ها در علم و مهندسی، و نه تنها در مکانیک، که منبع اصلی الهام کار لیاپانوف بود، توابع طبیعی لیاپانوف ممکن است پیشنهاد شوند. ، ارتباط نزدیکی با ویژگی های فرآیندها دارد. یکی از اهداف این کتاب حمایت از این ایده است. از دیدگاه ریاضی، قرن پس از اولین ظهور تک نگاری لیاپانوف، هم با کلیات و هم با اصلاحات ایده های لیاپانوف مشخص می شود. اما ما احساس می‌کنیم که دیدنی‌ترین پیشرفت، درک فرصت‌های گسترده‌ای است که با استفاده از تئوری پایداری که توسط لیاپانوف یک قرن پیش ساخته شد، برای کاربردها باز است. ما سعی کرده ایم با شروع تجربه شخصی خود در مطالعه برخی از مدل ها، برخی از ایده ها را در این راستا نشان دهیم.

The year 1992 marks the centennial anniversary of publication of the celebrated monograph "The General Problem of Stability of Motion" written by A. M. Liapunov. This anniversary inspires to think about the way theory and applications have developed during this century. The first observation one can make is that the so-called "second method", nowadays known as the "Liapunov function method", has received more attention than the "first method"; let us also mention the study of critical cases, which brought more attention recently in connection with the study of bifurcations and with nonlinear stabilization. One of the reasons of popularity of the Liapunov function approach might be the fact that, in many situations in science and engineering, and not only in mechanics, which was the main source of inspiration for the work of Liapunov, natural Liapunov functions may be proposed, intimately connected with the properties of the processes. It is one of the purposes of this book to advocate this idea. From the mathematical viewpoint, the century after the first appear­ ance of Liapunov's monograph has been characterized both by general­ izations and by refinements of Liapunov's ideas. But we feel that the most spectacular progress is the understanding of the wide possibilities open for applications by the use of Stability Theory as constructed by Liapunov a century ago. We have tried to show some of the ideas in this direction by start­ ing with our personal experience in the study of some models.