Applications of Finite Fields

نظریه میدان‌های محدود، که ریشه‌های آن را می‌توان در آثار گاوس و گالوا جستجو کرد، در شاخه‌های مختلف ریاضیات نقش داشته است. در سال‌های اخیر، ما شاهد افزایش مجدد علاقه به زمینه‌های محدود بوده‌ایم، و این تا حدی به دلیل کاربردهای مهم در نظریه کدگذاری و رمزنگاری است. هدف این کتاب این است که خواننده را با برخی از این تحولات اخیر آشنا کند. این باید مورد توجه طیف وسیعی از دانشجویان، محققان و شاغلان در رشته های علوم کامپیوتر، مهندسی و ریاضیات باشد. ما توجه خود را بر روی برخی از پیشرفت‌های خاص اخیر در تئوری و کاربردهای میدان‌های محدود متمرکز خواهیم کرد. در حالی که موضوعات انتخاب شده تا حدی عمیق بررسی می شوند، ما سعی نکرده ایم دایره المعارفی باشیم. از جمله موضوعات مورد مطالعه، روش‌های مختلف نمایش عناصر یک میدان محدود (شامل پایه‌های نرمال و پایه‌های نرمال بهینه)، الگوریتم‌های فاکتورگیری چندجمله‌ای در میدان‌های محدود، روش‌های ساخت چندجمله‌ای تقلیل‌ناپذیر، مسئله لگاریتم گسسته و پیامدهای آن در رمزنگاری، استفاده از منحنی های بیضوی در ساخت سیستم های رمزنگاری کلید عمومی و استفاده از هندسه جبری در ساخت کدهای تصحیح خطا خوب. برای محدود کردن اندازه حجم، مجبور شده‌ایم برخی از کاربردهای مهم فیلدهای محدود را حذف کنیم. برخی از این برنامه‌های کاربردی گمشده به‌طور خلاصه در پیوست همراه با برخی از مراجع کلیدی ذکر شده‌اند.

The theory of finite fields, whose origins can be traced back to the works of Gauss and Galois, has played a part in various branches in mathematics. Inrecent years we have witnessed a resurgence of interest in finite fields, and this is partly due to important applications in coding theory and cryptography. The purpose of this book is to introduce the reader to some of these recent developments. It should be of interest to a wide range of students, researchers and practitioners in the disciplines of computer science, engineering and mathematics. We shall focus our attention on some specific recent developments in the theory and applications of finite fields. While the topics selected are treated in some depth, we have not attempted to be encyclopedic. Among the topics studied are different methods of representing the elements of a finite field (including normal bases and optimal normal bases), algorithms for factoring polynomials over finite fields, methods for constructing irreducible polynomials, the discrete logarithm problem and its implications to cryptography, the use of elliptic curves in constructing public key cryptosystems, and the uses of algebraic geometry in constructing good error-correcting codes. To limit the size of the volume we have been forced to omit some important applications of finite fields. Some of these missing applications are briefly mentioned in the Appendix along with some key references.