Application of Holomorphic Functions in Two and Higher Dimensions

این کتاب کاربردهای تحلیل ابرمجموعه را در مسائل ارزش مرزی و مقدار مرزی اولیه از حوزه‌های مختلف فیزیک ریاضی ارائه می‌کند. با توجه به اینکه تحلیل کواترنیون و کلیفورد راه‌های طبیعی و هوشمندانه‌ای را برای ورود به ابعاد بالاتر ارائه می‌دهند، با نسخه‌های کواترنیون و کلیفورد از نظریه توابع پیچیده از جمله بسط سری با چند جمله‌ای Appell و همچنین سری‌های تیلور و لورن شروع می‌شود. چندین فضای تابع ضروری معرفی شده‌اند، و یک حساب عملگر بر اساس اصلاحات عملگرهای دیراک، کوشی-فوتر، و تئودورسکو و تجزیه‌های مختلف فضاهای هیلبرت کواترنیون ثابت شده‌اند. در نهایت، تبدیل فوریه هایپرمجموعه به تفصیل مورد مطالعه قرار می گیرد.

همه اینها سپس برای معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول مانند معادلات ماکسول، سیستم کارلمن-برز-وکوا، اعمال می شود. معادله شرودینگر و معادله بلترامی. معادلات مرتبه بالاتر با معادلات نوع Riccati شروع می شوند. موضوعات دیگر شامل مشکلات جریان سیال فضایی، پردازش تصویر و چند کاناله، انتشار تصویر، فیلتر ثابت مقیاس خطی و موارد دیگر است. یکی از نکات برجسته، استخراج فرمول های سه بعدی Kolosov-Mushkelishvili در کشش خطی است.

نویسندگان در سرتاسر کتاب سعی در ارائه اشارات تاریخی و شخصیت های مهم دارند. این کتاب برای مخاطبان گسترده ای در علوم ریاضی و مهندسی در نظر گرفته شده است و برای خوانندگان با درک اولیه از تجزیه و تحلیل واقعی، پیچیده و عملکردی در دسترس است.

This book presents applications of hypercomplex analysis to boundary value and initial-boundary value problems from various areas of mathematical physics. Given that quaternion and Clifford analysis offer natural and intelligent ways to enter into higher dimensions, it starts with quaternion and Clifford versions of complex function theory including series expansions with Appell polynomials, as well as Taylor and Laurent series. Several necessary function spaces are introduced, and an operator calculus based on modifications of the Dirac, Cauchy-Fueter, and Teodorescu operators and different decompositions of quaternion Hilbert spaces are proved. Finally, hypercomplex Fourier transforms are studied in detail.

All this is then applied to first-order partial differential equations such as the Maxwell equations, the Carleman-Bers-Vekua system, the Schrödinger equation, and the Beltrami equation. The higher-order equations start with Riccati-type equations. Further topics include spatial fluid flow problems, image and multi-channel processing, image diffusion, linear scale invariant filtering, and others. One of the highlights is the derivation of the three-dimensional Kolosov-Mushkelishvili formulas in linear elasticity. 

Throughout the book the authors endeavor to present historical references and important personalities. The book is intended for a wide audience in the mathematical and engineering sciences and is accessible to readers with a basic grasp of real, complex, and functional analysis.