Análisis Real, Volumen 1: Funciones de una variable

Capítulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 1
1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Capítulo 2. Números reales 13
1. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Capítulo 3. Sucesiones de números reales 25
1. Limite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Capítulo 4. Series de números 41
1. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 44
3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Capítulo 5. Algunas nociones de topología 53
1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Puntos de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capítulo 6. Límites de funciones 69
1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69
2. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Capítulo 7. Funciones continuas 83
1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . 83
2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86
3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90
4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Capítulo 8. Derivadas 101
1. La noción de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capítulo 9. Fórmula de Taylor y aplicaciones de la derivada 117
1. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121
3. Aproximaciones sucesivas y el método de Newton . . . 127
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Capítulo 10. La integral de Riemann 135
1. Revisión de sup e ínf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Capítulo 11. Cálculo con integrales 151
1. Teorema clásicos del Cálculo Integral . . . . . . . . . . 151
2. La integral como límite de sumas de Riemann . . . . . 155
3. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 157
4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Capítulo 12. Sucesiones y series de funciones 171
1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 171
2. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 175
3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4. Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Capítulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

Lecturas recomendadas 223