Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory

این کتاب برخی از پیشرفت های پیشگامانه ای را که در رابطه با ظرفیت تحلیلی و رابطه آن با قابلیت اصلاح در دهه 1995-2005 انجام شده است، مورد مطالعه قرار می دهد. تبدیل کوشی نقش اساسی در این زمینه ایفا می کند و بر این اساس یکی از موضوعات اصلی تحت پوشش است. موضوع مهم دیگری که ممکن است برای بسیاری از تحلیلگران مورد علاقه مستقل باشد، نظریه موسوم به کالدرون-زیگموند غیر همگن است که توسعه آن عمدتاً ناشی از مشکلات ناشی از ظرفیت تحلیلی است. مسئله Painlevé، که برای اولین بار در حدود سال 1900 مطرح شد، شامل یافتن توصیفی از تکینگی های قابل جابجایی برای توابع تحلیلی محدود در شرایط متریک و هندسی است. ظرفیت تحلیلی ابزار کلیدی در مطالعه این مشکل است. در دهه 1960 ویتوشکین حدس زد که مجموعه‌های قابل جابجایی که طول محدودی دارند با مجموعه‌هایی که کاملاً غیرقابل اصلاح هستند منطبق هستند. علاوه بر این، به دلیل کاربردهای نظریه تقریب منطقی یکنواخت، او این سوال را مطرح کرد که آیا ظرفیت تحلیلی نیمه افزودنی است یا خیر. این کار شواهد کاملی از حدس ویتوشکین و نیمه افزودنی بودن ظرفیت تحلیلی ارائه می‌کند، که هر دو تا همین اواخر مشکل‌های باز باقی مانده بودند. سؤالات مرتبط دیگری نیز مورد بحث قرار می‌گیرند، مانند رابطه بین یکسوسازی‌پذیری و وجود مقادیر اصلی برای تبدیل‌های کوشی و سایر انتگرال‌های منفرد. این کتاب تا حد زیادی مستقل است و باید برای دانشجویان فارغ التحصیل در تجزیه و تحلیل در دسترس باشد و همچنین منبعی ارزشمند برای محققان باشد.

This book studies some of the groundbreaking advances that have been made regarding analytic capacity and its relationship to rectifiability in the decade 1995–2005. The Cauchy transform plays a fundamental role in this area and is accordingly one of the main subjects covered. Another important topic, which may be of independent interest for many analysts, is the so-called non-homogeneous Calderón-Zygmund theory, the development of which has been largely motivated by the problems arising in connection with analytic capacity. The Painlevé problem, which was first posed around 1900, consists in finding a description of the removable singularities for bounded analytic functions in metric and geometric terms. Analytic capacity is a key tool in the study of this problem. In the 1960s Vitushkin conjectured that the removable sets which have finite length coincide with those which are purely unrectifiable. Moreover, because of the applications to the theory of uniform rational approximation, he posed the question as to whether analytic capacity is semiadditive. This work presents full proofs of Vitushkin’s conjecture and of the semiadditivity of analytic capacity, both of which remained open problems until very recently. Other related questions are also discussed, such as the relationship between rectifiability and the existence of principal values for the Cauchy transforms and other singular integrals. The book is largely self-contained and should be accessible for graduate students in analysis, as well as a valuable resource for researchers.