Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral

بر اساس یک دوره تحصیلات تکمیلی که توسط نویسنده در دانشگاه ییل ارائه شده است، این کتاب به تجزیه و تحلیل پیچیده (ظرفیت تحلیلی)، نظریه اندازه گیری هندسی (مجموعه های قابل اصلاح و یکنواخت قابل تصحیح) و تجزیه و تحلیل هارمونیک (محدوده عملگرهای انتگرال منفرد در مجموعه های منظم Ahlfors) می پردازد. ). به ویژه، این یادداشت ها حاوی شرحی از قضیه هندسی فروشنده دوره گرد پیتر جونز، اثبات هم ارزی بین یکنواخت پذیری و مرزبندی عملگر کوشی در مجموعه های منظم Ahlfors، اثبات کامل حدس دنجوی و حدس ویتوشکین (برای دومی، فقط مورد Ahlfors-Regular) و بحثی در مورد راه حل X. Tolsa برای مشکل Painlevé.

Based on a graduate course given by the author at Yale University this book deals with complex analysis (analytic capacity), geometric measure theory (rectifiable and uniformly rectifiable sets) and harmonic analysis (boundedness of singular integral operators on Ahlfors-regular sets). In particular, these notes contain a description of Peter Jones' geometric traveling salesman theorem, the proof of the equivalence between uniform rectifiability and boundedness of the Cauchy operator on Ahlfors-regular sets, the complete proofs of the Denjoy conjecture and the Vitushkin conjecture (for the latter, only the Ahlfors-regular case) and a discussion of X. Tolsa's solution of the Painlevé problem.