Analysis of Variations for Self-similar Processes: A Stochastic Calculus Approach

فرایندهای خود مشابه فرآیندهای تصادفی هستند که در توزیع در مقیاس زمانی مناسب تغییر ناپذیرند و موضوعی هستند که در چند دهه اخیر به شدت مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. این کتاب ویژگی های اساسی این فرآیندها را ارائه می دهد و بر مطالعه تغییرات آنها با استفاده از تجزیه و تحلیل تصادفی تمرکز می کند. در حالی که فرآیندهای مشابه، و به ویژه حرکت براونی کسری، در چندین کتاب مورد بحث قرار گرفته است، اخیراً برخی از کلاس های جدید در ادبیات علمی پدیدار شده اند. برخی از آنها بسط حرکت براونی کسری (حرکت براونی دو کسری، حرکت براونی تفریقی، فرآیندهای هرمیت) هستند، در حالی که برخی دیگر راه حل هایی برای معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که توسط نویزهای کسری هدایت می شوند.

در این مونوگراف، نویسنده ویژگی‌های اساسی این کلاس‌های جدید فرآیندهای مشابه و ارتباط متقابل آنها را مورد بحث قرار می‌دهد. در عین حال یک رویکرد جدید (بر اساس حساب تصادفی، به ویژه حساب مالیاوین) برای مطالعه رفتار تغییرات فرآیندهای مشابه در دهه گذشته توسعه یافته است. این کار به بررسی این تکنیک‌ها و یافته‌های اخیر در مورد قضایای حدی و حساب مالیاوین می‌پردازد.

Self-similar processes are stochastic processes that are invariant in distribution under suitable time scaling, and are a subject intensively studied in the last few decades. This book presents the basic properties of these processes and focuses on the study of their variation using stochastic analysis. While self-similar processes, and especially fractional Brownian motion, have been discussed in several books, some new classes have recently emerged in the scientific literature. Some of them are extensions of fractional Brownian motion (bifractional Brownian motion, subtractional Brownian motion, Hermite processes), while others are solutions to the partial differential equations driven by fractional noises.

In this monograph the author discusses the basic properties of these new classes of self-similar processes and their interrelationship. At the same time a new approach (based on stochastic calculus, especially Malliavin calculus) to studying the behavior of the variations of self-similar processes has been developed over the last decade. This work surveys these recent techniques and findings on limit theorems and Malliavin calculus.