Analysis of Spherical Symmetries in Euclidean Spaces

این کتاب با تأکید بر تقارن کروی در فضاهای اقلیدسی با ابعاد آرای دوتاری، رویکردی جدید و مستقیم به نظریه‌های توابع ویژه ارائه می‌کند. حتی ممکن است به دلیل تکنیک های انتخاب شده، قسمت های ضروری را ابتدایی نامید. موضوع اصلی ارائه هارمونیک‌های کروی در یک نظریه متغیرهای گروه متعامد است. H. Weyl یکی از اولین کسانی بود که اشاره کرد که هارمونیک های کروی باید بیش از حدس خوش شانسی برای ساده کردن محاسبات عددی در فیزیک ریاضی باشد. نظر او ناشی از اشتغال او به مکانیک کوانتوم بود و توسط بسیاری از فیزیکدانان حمایت شد. این ایده‌ها موضوع اصلی این رساله هستند. وقتی من و R. Richberg این پروژه را شروع کردیم، شگفت زده شدیم که نظریه عمومی چقدر می تواند آسان و ظریف باشد. یکی از نکات برجسته این کتاب گسترش نتایج کلاسیک هارمونیک های کروی به مجتمع است. این امر به ویژه برای پیچیده‌سازی فرمول فانک-هک، که با موفقیت برای معرفی راه‌حل‌های ثابت متعامد معادله موج کاهش‌یافته استفاده می‌شود، مهم است. بخش های شعاعی این محلول ها یا توابع بسل یا هانکل هستند که نقش مهمی در نظریه ریاضی امواج صوتی و نوری دارند. این نظریه ها اغلب نیازمند تحلیل دقیق رفتار مجانبی راه حل ها هستند. معرفی ارائه شده از توابع بسل و هانکل به طور مستقیم شرایط اصلی مجانبی را به دست می دهد. تقریب های مرتبه بالاتر را می توان استنباط کرد.

This book gives a new and direct approach into the theories of special functions with emphasis on spherical symmetry in Euclidean spaces of ar­ bitrary dimensions. Essential parts may even be called elementary because of the chosen techniques. The central topic is the presentation of spherical harmonics in a theory of invariants of the orthogonal group. H. Weyl was one of the first to point out that spherical harmonics must be more than a fortunate guess to simplify numerical computations in mathematical physics. His opinion arose from his occupation with quan­ tum mechanics and was supported by many physicists. These ideas are the leading theme throughout this treatise. When R. Richberg and I started this project we were surprised, how easy and elegant the general theory could be. One of the highlights of this book is the extension of the classical results of spherical harmonics into the complex. This is particularly important for the complexification of the Funk-Hecke formula, which is successfully used to introduce orthogonally invariant solutions of the reduced wave equation. The radial parts of these solutions are either Bessel or Hankel functions, which play an important role in the mathematical theory of acoustical and optical waves. These theories often require a detailed analysis of the asymptotic behavior of the solutions. The presented introduction of Bessel and Hankel functions yields directly the leading terms of the asymptotics. Approximations of higher order can be deduced.