Analysis of Discretization Methods for Ordinary Differential Equations

با توجه به نقش اساسی معادلات دیفرانسیل در علم و مهندسی، تولید مقادیر عددی راه حل های معادلات دیفرانسیل از دیرباز وظیفه اساسی تحلیلگران عددی بوده است. تقریباً همه رویکردها به این کار شامل «تعداد نهایی‌سازی» مسئله معادله دیفرانسیل اصلی است، که معمولاً با طرح ریزی در فضایی با ابعاد محدود است. تا حد زیادی محبوب ترین این فرآیندهای نهایی سازی شامل کاهش به یک مسئله معادله تفاوت برای توابعی است که فقط در شبکه ای از نقاط آرگومان مقادیر می گیرند. اگرچه برخی از این روش‌های تفاضل محدود برای مدت طولانی شناخته شده‌اند، اما کاربرد گسترده و کارایی زیاد آنها تنها با گسترش رایانه‌های الکترونیکی آشکار شد. این امر به شدت باعث تحریک تحقیقات در مورد خواص و استفاده عملی از روش‌های تفاضل محدود شد. در حالی که تئوری یا معادلات دیفرانسیل جزئی و آنالوگ های گسسته آنها موضوع بسیار سختی است، و در نتیجه پیشرفت کند است، مشکل ارزش اولیه برای یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول به قدری طبیعی به گسسته سازی می رسد که صدها تحلیلگر عددی احساس می کنند الهام گرفته شده اند. اختراع تعداد روزافزون روش های تفاضل محدود برای حل آن. برای حدود 15 سال، به سختی یک مجله عددی بدون نتایج جدید از این نوع وجود داشته است. اما واضح است که اکثریت قریب به اتفاق این روش ها فقط تغییراتی از چند موضوع اساسی بوده اند. در این شرایط، کتاب درسی کلاسیک P.

Due to the fundamental role of differential equations in science and engineering it has long been a basic task of numerical analysts to generate numerical values of solutions to differential equations. Nearly all approaches to this task involve a "finitization" of the original differential equation problem, usually by a projection into a finite-dimensional space. By far the most popular of these finitization processes consists of a reduction to a difference equation problem for functions which take values only on a grid of argument points. Although some of these finite­ difference methods have been known for a long time, their wide applica­ bility and great efficiency came to light only with the spread of electronic computers. This in tum strongly stimulated research on the properties and practical use of finite-difference methods. While the theory or partial differential equations and their discrete analogues is a very hard subject, and progress is consequently slow, the initial value problem for a system of first order ordinary differential equations lends itself so naturally to discretization that hundreds of numerical analysts have felt inspired to invent an ever-increasing number of finite-difference methods for its solution. For about 15 years, there has hardly been an issue of a numerical journal without new results of this kind; but clearly the vast majority of these methods have just been variations of a few basic themes. In this situation, the classical text­ book by P.