Analysis IV: Linear and Boundary Integral Equations

یک معادله انتگرال خطی معادله ای به شکل XEX است. (1) 2a(x)cp(x) - Ix k(x, y)cp(y)dv(y) = f(x)، در اینجا (X, v) یک فضای اندازه گیری با اندازه a محدود v است، 2 یک پارامتر مختلط است و a، k، f توابع (مقدار مختلط) داده شده است که به عنوان ضریب، هسته و عبارت آزاد (یا سمت راست) معادله (1) نامیده می شوند. به ترتیب. مشکل در تعیین پارامتر 2 و تابع مجهول cp است به طوری که معادله (1) تقریباً برای تمام x E X (یا حتی برای تمام x E X اگر، برای مثال، انتگرال به معنای ریمان درک شود) ارضا شود. در حالت f = 0 به معادله (1) همگن و در غیر این صورت ناهمگن می گویند. اگر a و k توابع ماتریسی باشند و بر این اساس، cp و f توابعی با مقدار برداری هستند، آنگاه (1) به عنوان یک سیستم معادلات انتگرال نامیده می شود. معادلات انتگرال شکل (1) در ارتباط با بسیاری از مسائل مقدار مرزی و مقدار ویژه فیزیک ریاضی بوجود می آیند. سه نوع از معادلات انتگرال خطی متمایز می شوند: اگر 2 = 0، آنگاه (1) معادله ای از نوع اول نامیده می شود. اگر 2a(x) i= 0 برای تمام x E X، آنگاه (1) معادله ای از نوع دوم نامیده می شود. و در نهایت، اگر یک زیرمجموعه از X محو شود اما 2 i= 0 باشد، آنگاه (1) از نوع سوم گفته می شود.

A linear integral equation is an equation of the form XEX. (1) 2a(x)cp(x) - Ix k(x, y)cp(y)dv(y) = f(x), Here (X, v) is a measure space with a-finite measure v, 2 is a complex parameter, and a, k, f are given (complex-valued) functions, which are referred to as the coefficient, the kernel, and the free term (or the right-hand side) of equation (1), respectively. The problem consists in determining the parameter 2 and the unknown function cp such that equation (1) is satisfied for almost all x E X (or even for all x E X if, for instance, the integral is understood in the sense of Riemann). In the case f = 0, the equation (1) is called homogeneous, otherwise it is called inhomogeneous. If a and k are matrix functions and, accordingly, cp and f are vector-valued functions, then (1) is referred to as a system of integral equations. Integral equations of the form (1) arise in connection with many boundary value and eigenvalue problems of mathematical physics. Three types of linear integral equations are distinguished: If 2 = 0, then (1) is called an equation of the first kind; if 2a(x) i= 0 for all x E X, then (1) is termed an equation of the second kind; and finally, if a vanishes on some subset of X but 2 i= 0, then (1) is said to be of the third kind.