Analysis III: Analytic and Differential Functions, Manifolds and Riemann Surfaces

جلد سوم نظریه کلاسیک کوشی را بیان می‌کند. این بسیار بیشتر به سمت کاربردهای بیشمار خود نسبت به نظریه کمابیش کامل توابع تحلیلی گرایش دارد. سپس انتگرال های منحنی نوع کوشی نشان داده می شوند که به هر تعداد متغیر واقعی تعمیم می یابند (شکل های دیفرانسیل، فرمول های نوع استوکس). سپس مبانی نظریه منیفولدها، عمدتاً برای ارائه زبان «متعارف» و برخی قضایای مهم (تغییر متغیرها در یکپارچگی، معادلات دیفرانسیل) به خواننده ارائه می‌شود. فصل آخر نشان می‌دهد که چگونه می‌توان از این قضایا استفاده کرد. برای ساختن سطح فشرده ریمان یک تابع جبری، موضوعی که به ندرت در ادبیات عمومی به آن پرداخته می شود، اگرچه فقط به تکنیک های ابتدایی نیاز دارد.

علاوه بر انتگرال Lebesgue، جلد چهارم یک قطعه ریاضیات تخصصی را ارائه خواهد کرد. که کل محتوای جلدهای قبلی به سمت آن همگرا می شود: ژاکوبی، ریمان، سری ددکیند و محصولات بی نهایت، توابع بیضوی، نظریه کلاسیک توابع مدولار و نسخه مدرن آن با استفاده از ساختار جبر Lie SL(2,R).< /p>

Volume III sets out classical Cauchy theory. It is much more geared towards its innumerable applications than towards a more or less complete theory of analytic functions. Cauchy-type curvilinear integrals are then shown to generalize to any number of real variables (differential forms, Stokes-type formulas). The fundamentals of the theory of manifolds are then presented, mainly to provide the reader with a "canonical'' language and with some important theorems (change of variables in integration, differential equations). A final chapter shows how these theorems can be used to construct the compact Riemann surface of an algebraic function, a subject that is rarely addressed in the general literature though it only requires elementary techniques.

Besides the Lebesgue integral, Volume IV will set out a piece of specialized mathematics towards which the entire content of the previous volumes will converge: Jacobi, Riemann, Dedekind series and infinite products, elliptic functions, classical theory of modular functions and its modern version using the structure of the Lie algebra of SL(2,R).