Analysis I

این قسمت اول از یک کتاب دو جلدی در مورد تجزیه و تحلیل واقعی است و برای دانشجویان ارشد ریاضیات که قبلاً در معرض حساب دیفرانسیل و انتگرال قرار گرفته اند در نظر گرفته شده است. تاکید بر دقت و مبانی تحلیل است. با شروع ساخت سیستم های اعداد و تئوری مجموعه ها، کتاب مبانی تحلیل (حدود، سری، تداوم، تمایز، ادغام ریمان)، تا سری توانی، حساب متغیرهای مختلف و تحلیل فوریه و سپس در نهایت انتگرال لبگ را مورد بحث قرار می دهد. . اینها تقریباً به طور کامل در فضای انضمامی خط واقعی و فضاهای اقلیدسی قرار می گیرند، اگرچه مطالبی در مورد فضاهای متریک و توپولوژیکی انتزاعی وجود دارد. این کتاب همچنین دارای ضمیمه هایی در زمینه منطق ریاضی و سیستم اعشاری است. کل متن (با حذف برخی موضوعات کمتر محوری) می تواند در دو فصل 25-30 سخنرانی تدریس شود. مطالب درسی عمیقاً با تمرین‌ها در هم آمیخته است، زیرا در نظر گرفته شده است که دانش‌آموز به طور فعال مطالب را بیاموزد (و تفکر و نوشتن را با دقت تمرین کند) با اثبات چندین نتیجه کلیدی در تئوری.

This is part one of a two-volume book on real analysis and is intended for senior undergraduate students of mathematics who have already been exposed to calculus. The emphasis is on rigour and foundations of analysis. Beginning with the construction of the number systems and set theory, the book discusses the basics of analysis (limits, series, continuity, differentiation, Riemann integration), through to power series, several variable calculus and Fourier analysis, and then finally the Lebesgue integral. These are almost entirely set in the concrete setting of the real line and Euclidean spaces, although there is some material on abstract metric and topological spaces. The book also has appendices on mathematical logic and the decimal system. The entire text (omitting some less central topics) can be taught in two quarters of 25-30 lectures each. The course material is deeply intertwined with the exercises, as it is intended that the student actively learn the material (and practice thinking and writing rigorously) by proving several of the key results in the theory.