Analysis I

این اولین جلد از یک مقدمه سه جلدی برای تحلیل واقعی است. این باید مطالب سخنرانی مقدماتی سه ترم که در دانشگاه های جمهوری فدرال آلمان مرسوم است را پوشش دهد. من بارها این سخنرانی را ایراد کرده ام. ارائه كتاب نسبتاً كوتاه و متمركز است. با این حال، کار به اندازه کافی جامع خواهد بود تا به عنوان پایه ای برای کل ساختمان تحلیل عمل کند. ساختار و انتخاب پارچه به طور قابل توجهی تحت تأثیر کار خودم است. جلد اول شامل نظریه حد و حساب دیفرانسیل و انتگرال برای توابع یک متغیر واقعی است. در مقایسه با تصاویر قبلی چندین ویژگی خاص دارد. 1) اصطلاحات Limes inferior و Limes superior که فقط برای دنباله های واقعی اعداد در عملاً در تمام کتاب های درسی مقدماتی تعریف شده اند، همچنین به عنوان پایه نظریه ارزش حدی برای توابع واقعی یک متغیر واقعی عمل می کنند. Limes superior به طور سیستماتیک برای اثبات عبارات مقدار حد استفاده می شود. محققانی که در تجزیه و تحلیل کار می کنند با این واقعیت آشنا هستند که این تکنیک به ویژه استنتاج های کوتاه و واضح را امکان پذیر می کند. 2) دایره ایده های قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل به روشی کاملاً جدید ارائه شده است و تأکید ویژه ای بر استفاده از تمایز برای به دست آوردن نابرابری ها شده است. 3) کتاب انتگرال ابتدایی Stieltjes را که اغلب در تحلیل استفاده می‌شود، در نسخه‌ای که شامل توابع با ارزش مختلط و در نتیجه انتگرال‌های منحنی تحلیل پیچیده است، به تفصیل توسعه می‌دهد. 4) تمرینات جدید زیادی وجود دارد.

Dies ist der erste Band einer auf drei Bände angelegten Einführung in die reelle Analysis. Sie soll etwa den Stoff der an den Universitäten der Bundesrepublik Deutsch­ land üblichen dreisemestrigen einführenden Vorlesung umfassen. Ich habe diese Vor­ lesung viele Male gehalten. Die Darstellung des Buches ist verhältnismäßig kurz und von konzentrierter Diktion. Das Werk wird aber hinreichend umfassend sein, um als Fundament für das Gesamtgebäude der Analysis dienen zu können. Struktur und Stoffauswahl sind durch meine eigenen Arbeiten wesentlich mitbeeinflußt. Der erste Band umfaßt die Grenzwerttheorie und die Differential- und Integral­ rechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen. Er weist gegenüber den vor­ liegenden Darstellungen mehrere Besonderheiten auf. 1) Die Begriffe Limes inferior und Limes superior, die in praktisch allen einführenden Lehrbüchern nur für reelle Zahlenfolgen definiert werden, dienen auch bei den reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen als Fundament der Grenzwerttheorie. Der Limes superior wird syste­ matisch zum Beweis von Grenzwertaussagen verwendet. Es ist den in der Analysis arbeitenden Forschern geläufig, daß diese Technik besonders kurze und übersichtliche Schlußweisen erlaubt. 2) Der Ideenkreis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung wird vollkommen neu dargestellt, und es wird mit besonderem Gewicht der Einsatz der Differentiation zum Gewinnen von Ungleichungen betrieben. 3) Das Buch entwickelt ausführlich das in der Analysis viel benutzte elementare Stieltjes-Integral, und zwar in einer die komplexwertigen Funktionen und damit die Kurvenintegrale der komplexen Analysis umfassenden Version. 4) Es finden sich viele neue Übungsaufgaben.