Analysis 1

Inhaltsverzeichnis......Page 10
§ 1. Reelle Zahlen......Page 17
1.1 Mengen......Page 20
1.2 Funktionen......Page 21
1.3 Körperaxiome......Page 22
1.4 Anordnungsaxiome......Page 23
1.5 Obere und untere Schranken, größtes und kleinstes Element, Supremum und Infimum......Page 25
1.7 Vorzeichen und Absolutbetrag......Page 26
1.8 Die Menge R......Page 27
1.9 Intervalle und Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen......Page 28
1.10 Bemerkungen zur Axiomatik......Page 29
1.11 Bemerkungen zur Logik und Beweistechnik......Page 30
Aufgaben......Page 31
§ 2. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion......Page 33
2.2 Beweis durch vollständige Induktion......Page 34
2.3 Einige Eigenschaften von N......Page 35
2.4 Die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen......Page 36
2.6 Endliche Mengen......Page 37
2.8 Rekursive Definition......Page 38
2.9 Abzählbare Mengen......Page 39
2.10 Nichtabzählbare Mengen......Page 40
2.11 Definition des Summen- und des Produktzeichens......Page 41
2.12 Einige einfache Tatsachen......Page 43
2.14 Die Binomialformel......Page 44
2.15 Zahlendarstellung in Positionssystemen......Page 47
2.16 Kombinatorische Aufgaben......Page 48
2.17 Die Fibonacci-Zahlen......Page 49
Aufgaben......Page 50
§ 3. Polynome und Wurzeln......Page 53
3.2 Polynome......Page 55
3.3 Das Interpolationspolynom......Page 58
3.4 Monotone Funktionen......Page 59
3.5 Die Lipschitz-Bedingung......Page 60
3.6 Die n-te Wurzel. Definition und Satz......Page 62
3.7 Arithmetisches und geometrisches Mittel......Page 63
3.8 Potenzen mit rationalen Exponenten......Page 64
Aufgaben......Page 66
§ 4. Zahlenfolgen......Page 68
4.2 Nullfolgen......Page 74
4.3 Konvergente Folgen......Page 76
4.4 Rechenregeln......Page 78
4.6 Divergente Folgen......Page 80
4.7 Konvergenzkriterien für monotone Folgen......Page 81
4.8 Die Exponentialfunktion. Definition und Satz......Page 82
4.9 Der Logarithmus......Page 83
4.10 Iterationsverfahren. Berechnung von Wurzeln......Page 85
4.11 Das arithmetisch-geometrische Mittel von Gauß......Page 86
4.12 Häufungswerte von Folgen......Page 87
4.14 Konvergenzkriterium von Cauchy......Page 88
4.15 Oberer und unterer Limes beschränkter Folgen......Page 89
4.16 Folgen in R......Page 90
Aufgaben......Page 92
§ 5. Unendliche Reihen......Page 94
5.1 Definitionen und einfache Eigenschaften......Page 102
5.2 Satz......Page 104
5.4 Einige Reihensummen......Page 105
5.5 Reihen mit positiven Gliedern......Page 108
5.6 Alternierende Reihen......Page 109
5.8 Absolute Konvergenz......Page 110
5.9 Kriterium für absolute Konvergenz......Page 111
5.10 Verdichtungssatz von Cauchy......Page 113
5.11 Umordnung von unendlichen Reihen......Page 114
5.12 Reihen mit beliebigen Indexmengen......Page 115
5.13 Großer Umordnungssatz......Page 116
5.14 Doppelreihen......Page 117
5.15 Multiplikation von Reihen......Page 118
5.16 Bedingte und unbedingte Konvergenz......Page 120
5.18 Dezimalbrüche und g-adische Entwicklung......Page 121
Aufgaben......Page 123
§ 6. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit......Page 125
6.1 Grenzwert und Stetigkeit......Page 130
6.2 Einseitiger Limes, einseitige Stetigkeit......Page 132
6.3 Folgenkriterium......Page 133
6.4 Das Konvergenzkriterium von Cauchy......Page 134
6.6 Satz......Page 135
6.8 Stetigkeit auf einem kompakten Intervall. Maximum und Minimum einer Funktion......Page 136
6.9 Gleichmäßige Stetigkeit......Page 137
6.10 Zwischenwertsatz......Page 139
6.11 Satz über die Umkehrfunktion......Page 140
6.12 Limes für x→±∞......Page 141
6.13 Uneigentliche Grenzwerte......Page 142
6.15 Sprungstelle und Schwankung......Page 143
6.17 Stetige Fortsetzung......Page 144
Aufgaben......Page 145
§ 7. Potenzreihen. Elementar-transzendente Funktionen......Page 147
7.1 Gleichmäßige Konvergenz......Page 155
7.3 Satz......Page 156
7.4 Gleichmäßige Konvergenz von Reihen......Page 157
7.6 Potenzreihen......Page 158
7.8 Multiplikation von Potenzreihen......Page 160
7.9 Die Exponentialreihe......Page 161
7.11 Die logarithmische Reihe......Page 163
7.12 Der Grenzwertsatz von Abel......Page 165
7.13 Einsetzen von Potenzreihen......Page 166
7.15 Berechnung von Potenzreihen, Koeffizientenvergleich......Page 167
7.16 Sinus und Cosinus......Page 168
7.17 Die Arcusfunktionen (zyklometrische Funktionen)......Page 172
7.18 Die Hyperbelfunktionen......Page 174
7.19 Die Areafunktionen......Page 175
7.20 Potenzreihen für Tangens und Cotangens......Page 176
7.21 Nochmals Potenzsummen......Page 178
Aufgaben......Page 179
8.1 Der Körper C der komplexen Zahlen......Page 182
8.2 Polarkoordinaten......Page 184
8.3 Wurzeln und Einheitswurzeln......Page 185
8.4 Polynome......Page 186
8.5 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen......Page 187
8.7 Konvergenz von Folgen und Reihen......Page 190
8.9 Potenzreihen......Page 192
8.10 Entwicklung um einen neuen Mittelpunkt......Page 193
8.11 Die Exponentialfunktion im Komplexen......Page 194
8.12 Die Partialbruchzerlegung des Cotangens......Page 197
8.13 Die Riemannsche Zetafunktion......Page 199
Aufgaben......Page 200
§ 9. Das Riemannsche Integral......Page 203
9.1 Zerlegung, Ober- und Untersumme......Page 213
9.2 Hilfssatz......Page 214
9.4 Satz......Page 215
9.6 Satz über Integrierbarkeit......Page 217
9.7 Die Riemannsche Definition des Integrals......Page 218
9.9 Satz über die Linearität des Integrals......Page 221
9.10 Einige Eigenschaften des Integrals......Page 222
9.12 Dreiecksungleichung für Integrale......Page 223
9.13 Mittelwertsatz der Integralrechnung......Page 224
9.14 Satz über gliedweise Integration......Page 225
9.15 Integrale über Teilintervalle......Page 227
9.16 Das Integral als Funktion der oberen Grenze......Page 228
9.17 Die Bestimmung von Summen durch Integrale......Page 229
9.18 Die Berechnung von π......Page 231
Aufgaben......Page 234
§ 10. Differentiation......Page 237
10.1 Differenzenquotient und Ableitung......Page 256
10.2 Einseitige Differenzierbarkeit......Page 258
10.3 Einfache Tatsachen......Page 259
10.4 Das Differential......Page 261
10.5 Rechenregeln für die Ableitung......Page 262
10.6 Die Kettenregel......Page 263
10.7 Ableitung der Umkehrfunktion......Page 264
10.8 Zusammenfassung......Page 265
10.9 Höhere Ableitungen, die Klassen C[sup(k)]......Page 267
10.10 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung......Page 270
10.11 Regel von de I\'Hospital......Page 272
10.12 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung......Page 275
10.13 Satz über gliedweise Differentiation......Page 277
10.14 Taylor-Reihe und Taylor-Polynom......Page 278
10.15 Satz von Taylor......Page 279
10.16 Die Taylorsche Entwicklung von Funktionen......Page 281
10.18 Das Gegenbeispiel von Cauchy......Page 283
Aufgaben......Page 284
11.1 Die Stammfunktion oder das unbestimmte Integral......Page 289
11.2 Die Technik des Integrierens......Page 290
11.3 Partielle Integration......Page 291
11.4 Die Substitutionsregel......Page 293
11.5 Die Integration der rationalen Funktionen......Page 294
11.6 Satz......Page 296
11.7 Vorläufiges zum Inhaltsproblem......Page 298
11.8 Die Fläche ebener Bereiche als Integral......Page 299
11.9 Darstellung in Polarkoordinaten......Page 300
11.10 Das Volumen von Rotationskörpern......Page 302
11.11 Schwerpunkte......Page 306
11.12 Trägheitsmomente......Page 309
11.13 Mechanische Arbeit......Page 311
11.14 Numerische Integration......Page 312
11.16 Kriterien für Wendepunkte......Page 316
11.18 Die Jensensche Ungleichung für konvexe Funktionen......Page 317
11.19 Mehr über konvexe Funktionen......Page 319
11.20 Kurvendiskussion......Page 320
11.21 Mittelwerte mit einer beliebigen Funktion......Page 323
11.22 Satz über die Mittel r-ter Ordnung......Page 324
11.23 Höldersche Ungleichung......Page 325
11.24 Minkowskische Ungleichung......Page 326
11.25 Eine Ungleichung von Redheffer......Page 327
11.26 Kontrahierende Abbildungen. Das Kontraktionsprinzip......Page 328
11.27 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung......Page 333
Aufgaben......Page 336
12.1 Unbeschränkter Integrationsbereich......Page 339
12.2 Rechenregeln......Page 340
12.4 Absolute Konvergenz, Majorantenkriterium......Page 341
12.5 Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale......Page 342
12.6 Grenzübergang unter dem Integralzeichen......Page 343
12.7 Unbeschränkter Integrand......Page 344
12.8 Die Gammafunktion......Page 346
Einfache Differentialgleichungen......Page 349
12.9 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung......Page 350
12.10 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung......Page 352
12.11 Der harmonische Oszillator......Page 355
12.12 Reibungskräfte......Page 357
12.13 Gedämpfte Schwingung......Page 358
12.14 Resonanz......Page 360
12.15 Bernoullische Polynome......Page 362
12.16 Eulersche Summenformel......Page 363
12.17 Die Eulersche Konstante......Page 365
12.18 Produktdarstellung des Sinus......Page 366
12.20 Die Stirlingsche Formel......Page 367
Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes. Dini-Derivierte......Page 369
12.21 Satz......Page 371
12.22 Limes superior und Limes inferior......Page 372
12.23 Die vier Dini-Derivierten......Page 373
12.24 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung......Page 374
12.26 Eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion......Page 375
12.27 Das Lemma von Gronwall......Page 377
12.28 Ungleichungen vom Faltungstyp......Page 380
12.29 Nichtlineare Integral-Gleichungen......Page 382
Lösungen und Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben......Page 390
Literatur......Page 398
Bezeichnungen und Grundformeln......Page 401
B......Page 402
D......Page 403
F......Page 404
G......Page 405
I......Page 406
K......Page 407
M......Page 408
O......Page 409
R......Page 410
S......Page 411
W......Page 412
Z......Page 413