Analysis, Controllability and Optimization of Time-Discrete Systems and Dynamical Games

ج. P. La Salle در [20] یک نظریه پایداری برای سیستم‌های معادلات تفاوت ایجاد کرده است (همچنین به [8] مراجعه کنید) که در فصل اول در چارچوب فضاهای متریک معرفی می‌کنیم. تئوری پایداری برای چنین سیستم هایی را نیز می توان در [13] به شکل کمی تغییر یافته یافت. ما با سیستم‌های خودمختار در بخش اول فصل 1 شروع می‌کنیم. پس از آماده‌سازی نظری، محلی‌سازی مجموعه‌های حد را با کمک توابع لیاپانوف بررسی می‌کنیم. با استفاده از این توابع لیاپانوف می‌توانیم یک نظریه پایداری برای سیستم‌های خودمختار ایجاد کنیم. اگر یک سیستم غیر خطی را در یک نقطه ثابت خطی کنیم، می‌توانیم یک تئوری پایداری برای نقاط ثابت ایجاد کنیم که از مشتق Frechet در نقطه ثابت استفاده می‌کند. بخش فرعی بعدی به سیستم های خطی کلی می پردازد که برای آنها مفهوم جدیدی از ثبات و پایداری مجانبی را که از [18] اتخاذ می کنیم، معرفی می کنیم. برنامه های کاربردی در زمینه های مختلف این نتایج را نشان می دهد. ما با مدل کلاسیک شکارچی-شکار که توسط Volterra توسعه و بررسی شده است شروع می کنیم که بر اساس یک سیستم 2×2 معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برای تراکم جمعیت طعمه و شکارچی است. این مدل همچنین در [13] با توجه به پایداری تعادل آن از طریق تابع لیاپانوف بررسی شده است. در اینجا ما نسخه گسسته مدل را در نظر می گیریم.

J. P. La Salle has developed in [20] a stability theory for systems of difference equations (see also [8]) which we introduce in the first chapter within the framework of metric spaces. The stability theory for such systems can also be found in [13] in a slightly modified form. We start with autonomous systems in the first section of chapter 1. After theoretical preparations we examine the localization of limit sets with the aid of Lyapunov Functions. Applying these Lyapunov Functions we can develop a stability theory for autonomous systems. If we linearize a non-linear system at a fixed point we are able to develop a stability theory for fixed points which makes use of the Frechet derivative at the fixed point. The next subsection deals with general linear systems for which we intro­ duce a new concept of stability and asymptotic stability that we adopt from [18]. Applications to various fields illustrate these results. We start with the classical predator-prey-model as being developed and investigated by Volterra which is based on a 2 x 2-system of first order differential equations for the densities of the prey and predator population, respectively. This model has also been investigated in [13] with respect to stability of its equilibrium via a Lyapunov function. Here we consider the discrete version of the model.