Analyse mathématique I: Convergence, fonctions élémentaires

Préface. L'analyse et ses adhérences......Page 8
Table des matières du volume I......Page 20
I - Ensembles et Fonctions......Page 24
1 - Appartenance, égalité, ensemble vide......Page 31
2 - Ensemble défini par une relation. Intersections et réunions......Page 34
3 - Entiers naturels. Ensembles infinis......Page 38
4 - Couples, produits cartésiens, ensembles de parties......Page 41
5 - Fonctions, applications, correspondances......Page 43
6 - Injections, surjections, bijections......Page 48
7 - Ensembles équipotents. Ensembles dénombrables......Page 50
8 - Les différentes sortes d'infini......Page 53
9 - Ordinaux et cardinaux......Page 57
§2. La logique des logiciens......Page 64
0 - Introduction : qu'est-ce qu'un nombre réel ?......Page 70
1 - Opérations algébriques et relation d'ordre : axiomes de R......Page 78
2 - Inégalités et intervalles......Page 80
3 - Propriétés locales ou asymptotiques......Page 83
4 - La notion de limite. Continuité et dérivabilité......Page 87
5 - Suites convergentes : définition et exemples......Page 92
6 - Le langage des séries......Page 101
7 - Les merveilles de la série harmonique......Page 106
8 - Opérations algébriques sur les limites......Page 117
9 - Suites croissantes. Borne supérieure d'un ensemble de nombres réels......Page 120
10 - La fonction log x. Racines d'un nombre positif......Page 125
11 - Qu'est-ce qu'une intégrale ?......Page 132
12 - Séries à termes positifs......Page 136
13 - Séries alternées......Page 142
14 - Séries absolument convergentes classiques......Page 146
15 - Convergence en vrac : cas général......Page 150
16 - Relations de comparaison. Critères de Cauchy et d'Alembert......Page 154
17 - Limites infinies......Page 160
18 - Convergence en vrac : associativité......Page 162
19 - Applications aux fonctions analytiques......Page 171
20 - Le principe du prolongement analytique......Page 181
21 - La fonction cot x et les séries somme(1/n^(2k))......Page 185
22 - Multiplication des séries. Composition des fonctions analytiques. Séries formelles......Page 190
23 - Les fonctions elliptiques de Weierstrass......Page 201
1 - Valeurs limites d'une fonction. Ensembles ouverts et fermés......Page 210
2 - Fonctions continues......Page 215
3 - Limites à droite et à gauche d'une fonction monotone......Page 220
4 - Le théorème des valeurs intermédiaires......Page 224
5 - Limites de fonctions continues......Page 228
6 - Un dérapage de Cauchy......Page 234
7 - La distance de la convergence uniforme......Page 239
8 - Séries de fonctions continues. Convergence normale......Page 243
9 - Intervalles emboîtés, Bolzano-Weierstrass, ensembles compacts......Page 248
10 - Le critère général de convergence de Cauchy......Page 251
11 - Le critère de Cauchy pour les séries : exemples......Page 258
12 - Limites de limites......Page 263
13 - Passage à la limite dans une série de fonctions......Page 265
14 - Dérivées d'une fonction......Page 267
15 - Règles de calcul des dérivées......Page 275
16 - Le théorème des accroissements finis......Page 283
17 - Suites et séries de fonctions dérivables......Page 288
18 - Extensions à la convergence en vrac......Page 293
§5. Fonctions dérivables de plusieurs variables......Page 296
19 - Dérivées partielles et différentielles......Page 297
20 - Différentiabilité des fonctions de classe C1......Page 299
21 - Dérivation des fonctions composées......Page 302
22 - Limites de fonctions dérivables......Page 307
23 - Permutabilité des dérivations......Page 310
24 - Fonctions implicites......Page 313
1 - Espaces cartésiens et espaces métriques généraux......Page 326
2 - Ensembles ouverts ou fermés......Page 329
3 - Limites et critère de Cauchy dans un espace métrique; espaces complets......Page 330
4 - Fonctions continues......Page 333
5 - Séries absolument convergentes dans un espace de Banach......Page 335
6 - Applications linéaires continues......Page 339
7 - Espaces compacts......Page 343
8 - Espaces topologiques......Page 345
1 - Exposants rationnels......Page 350
2 - Définition des exposants réels......Page 352
3 - Calcul des exposants réels......Page 355
4 - Logarithme de base a. Fonctions puissances......Page 357
5 - Comportements asymptotiques......Page 358
6 - Caractérisations des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques......Page 362
7 - Dérivées des fonctions exponentielles : méthode directe......Page 364
8 - Dérivées des fonctions exponentielles, puissances et logarithmiques......Page 367
9 - Le nombre e. Logarithme népérien......Page 370
10 - Série exponentielle et logarithme : méthode directe......Page 372
11 - La série du binôme de Newton......Page 376
12 - La série entière du logarithme......Page 384
13 - La fonction exponentielle comme limite......Page 394
14 - Exponentielles imaginaires et fonctions trigonométriques......Page 398
15 - La relation d'Euler chez Euler......Page 408
16 - Fonctions hyperboliques......Page 413
17 - Produits infinis absolument convergents......Page 418
18 - Le produit infini de la fonction sinus......Page 421
19 - Développement en série d'un produit infini......Page 427
20 - Etranges identités......Page 432
§4. La topologie des fonctions Arg(z) et Log z......Page 438
Index......Page 448
Table des matières du volume II......Page 452