Analyse mathématique Grands théorèmes du vingtième siècle

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Avant-propos......Page 14
1. Introduction......Page 18
2. État des lieux en 1911......Page 21
3.1. L'exemple non-trivial......Page 24
3.3. Le tour de force du papier......Page 28
3.6. Optimalité de la condition taubérienne a_n = O(n^-1)......Page 31
3.13. Un programme de travail et de collaboration......Page 38
4. Appendice sur les séries entières......Page 41
5. Exercices......Page 45
1. Introduction......Page 52
2. Rappels sur la transformée de Fourier......Page 55
3.1. Les idées de la preuve du théorème d'approximation......Page 57
3.4. Compléments sur la transformée de Fourier......Page 60
3.7. Séries de Fourier absolument convergentes......Page 63
3.14. Fin de la preuve du théorème d'approximation......Page 68
4.1. Le théorème taubérien de Pitt......Page 69
4.3. Procédés de sommation......Page 70
5. Preuve de Newman du lemme de Wiener......Page 73
6.1. Adjonction d'une unité à L¹(R)......Page 74
6.4. La preuve algébrique......Page 76
7. Exercices......Page 77
1. Introduction......Page 84
2. Le lemme de Newman......Page 85
3. Le théorème taubérien de Newman......Page 89
4. Applications......Page 93
4.10. Deuxième preuve du TNP......Page 101
5. Les théorèmes de Ikehara et Delange......Page 103
6. Exercices......Page 109
IV. Propriétés génériques des fonctions dérivées......Page 112
1.2. Catégorie......Page 113
2.4. Cas des fonctions de première classe......Page 114
3.1. Caractérisation de l'ensemble des points de discontinuité d'une dérivée......Page 116
3.5. Discontinuité presque partout de la dérivée bornée générique......Page 118
4. Fonctions dérivables nulle part monotones......Page 120
4.1. Les fonctions de type Pompeiu......Page 121
4.5. Fonctions dérivables et nulle part monotones......Page 123
5. Exercices......Page 125
1. Introduction......Page 130
2. Inégalités de Khintchine et applications......Page 131
2.4. Première preuve par compacité......Page 134
2.5. Deuxième preuve par les probabilités......Page 136
2.6. Preuve du point 2) du théorème V-2.3......Page 137
3. Sous-espaces hilbertiens de L¹([0,1])......Page 141
4. Concentration des lois binomiales et applications......Page 143
5. Exercices......Page 151
1. Introduction......Page 156
2. Moyennes......Page 159
2.1. Interprétation en termes de formes linéaires......Page 160
2.6. Groupes moyennables......Page 162
2.17. Le problème du prolongement exhaustif de la mesure de Lebesgue......Page 166
3. Paradoxes......Page 169
3.3. Le paradoxe de la sphère......Page 171
3.15. Le paradoxe de Banach-Tarski dans R³......Page 177
4. Supermoyennabilité......Page 180
5. Appendice sur les espaces vectoriels topologiques......Page 183
6. Exercices......Page 184
1. Introduction......Page 188
2. Non-dérivabilité de la fonction de Riemann en 0......Page 190
3. La méthode d'Itatsu......Page 191
3.5. Lien entre F et la fonction θ₀ de Jacobi......Page 193
3.7. Application à une estimation de F au voisinage de 0......Page 195
3.9. Autres points rationnels......Page 196
4. Non-différentiabilité en les irrationnels......Page 197
4.3. Premier ingrédient......Page 202
4.5. Deuxième ingrédient......Page 203
4.11. Rappels succincts sur les développements en fractions continuées......Page 209
4.12. Troisième ingrédient......Page 211
4.14. Fin de la preuve du théorème de Hardy et Littlewood......Page 213
5. Exercices......Page 216
VIII. L'équation fonctionnelle approchée de θ₀......Page 224
1. L'équation fonctionnelle approchée......Page 225
2. Autres formes de l'équation fonctionnelle approchée......Page 231
2.1. Compléments sur les fractions continuées......Page 232
2.4. Forme maniable de l'équation fonctionnelle approchée......Page 234
2.8. Estimations en norme uniforme......Page 237
2.12. Estimations en norme L¹......Page 239
3. Exercices......Page 242
1. Introduction......Page 248
2. Propriétés de la norme L¹ et conjecture de Littlewood......Page 254
3. Solution de la conjecture de Littlewood......Page 259
4. Extension au cas de fréquences réelles......Page 267
5. Exercices......Page 278
X. Généralités sur les algèbres de Banach......Page 284
1. Spectre d'un élément dans une algèbre de Banach......Page 285
1.1. Définition, premières propriétés......Page 286
2. Caractères d'une algèbre de Banach......Page 288
2.3. Correspondance entre idéaux maximaux et caractères......Page 289
2.8. Topologie sur le spectre......Page 291
2.11. Transformée de Gelfand......Page 292
3.1. Fonctions continues sur un espace compact......Page 293
3.4. L'algèbre du disque......Page 294
3.7. L'algèbre de Wiener......Page 295
4. C*-algèbres......Page 297
4.5. Propriétés de base......Page 298
4.13. Théorème de représentation de Gelfand-Naimark......Page 299
4.15. Application aux éléments normaux de A......Page 300
5. Exercices......Page 301
1. Introduction......Page 308
2.1. Les opérateurs de dérivation......Page 313
2.2. La formule de Stokes......Page 314
2.6. Résolution du d-barre......Page 317
2.7. Les produits de Blaschke......Page 318
2.8. Les espaces de Hardy......Page 319
2.12. Dualité dans les espaces de Banach......Page 320
3. Solution du problème de la couronne......Page 321
3.1. Aspect algébrique......Page 322
3.2. Aspect analytique......Page 324
3.2.1.Estimation de etc......Page 326
3.3.1. Estimation de etc......Page 327
3.5. Vers une version « sans dimension » du théorème de la couronne......Page 328
4. La preuve initiale de Carleson et les mesures de Carleson......Page 337
5. Prolongements du théorème de la couronne......Page 342
6. Exercices......Page 346
1. Introduction......Page 352
2. Le problème de la complémentation......Page 354
3. Solution du problème 9......Page 359
4. Le théorème de Kadec-Snobar......Page 361
5. Un exemple « à la Liouville »......Page 365
6. Un exemple « à la Hermite »......Page 368
7. Développements plus récents......Page 372
8. Exercices......Page 375
Exercices du chapitre 1......Page 382
Exercices du chapitre II......Page 384
Exercices du chapitre III......Page 386
Exercices du chapitre IV......Page 387
Exercices du chapitre V......Page 391
Exercices du chapitre VI......Page 392
Exercices du chapitre VII......Page 395
Exercices du chapitre VIII......Page 397
Exercices du chapitre IX......Page 399
Exercices du chapitre X......Page 401
Exercices du chapitre XI......Page 403
Exercices du chapitre XII......Page 406
Bibliographie......Page 410
Notations......Page 420
Index......Page 424