Analyse linéaire dans les espaces de dimensions finies

Page de titre......Page 1
Avant-propos......Page 7
Chapitre premier. Espace vectoriel complexe......Page 11
1. Dépendance et indépendance linéaires. Rang d'une famille de vecteurs......Page 12
2. Bases et dimension des espaces. Espaces isomorphes......Page 17
3. Sous-espaces......Page 21
4. Espace quotient. Homomorphismes. Alternative de Fredholm......Page 27
5. Opérations avec les homomorphismes......Page 34
6. Fonctionnelles linéaires. Orthogonalité. Systèmes biorthogonaux......Page 43
7. Homomorphisme adjoint et théorie de Fredholm......Page 48
8. Fonctionnelles bilinéaires et produits tensoriels......Page 51
9. Dual complexe. Homomorphismes hermitiens......Page 56
10. Théorie générale de l'orthogonalité......Page 59
11. Topologie......Page 61
12. Théorie des limites. Séries. Eléments de l'analyse infinitésimale......Page 65
1. Algèbre des opérateurs linéaires......Page 75
2. Valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur linéaire. Sous-espaces invariants......Page 80
3. Sous-espaces de racine. Théorème spectral fondamental......Page 86
4. Théorème de Jordan. Classification des opérateurs......Page 92
5. Résolvante et calcul opérationnel......Page 98
6. Opérateurs commutants. Fonctions d'opérateur......Page 105
7. Trace d'un opérateur. Commutants......Page 110
8. Projecteurs et décomposition de l'unité......Page 113
9. Éléments de la théorie des perturbations......Page 119
10. Déterminant de l'opérateur. Commutants de groupe......Page 121
1. Fonctionnelles bilinéaires et quadratiques......Page 124
2. Fonctionnelles bilinéaires hermitiennes et quadratiques. Loi d'inertie......Page 129
3. Espace unitaire......Page 133
4. Opérateur adjoint. Sous-espaces orthogonalement réduisibles......Page 143
5. Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints. Algèbre des orthoprojecteurs......Page 146
6. Théorio spectrale des opérateurs unitaires. Transformation de Cayley. Représentation polaire d'un opérateur......Page 152
7. Théorie spectrale des opérateurs normaux......Page 157
8. Propriétés extrémales des valeurs propres d'un opérateur autoadjoint......Page 159
9. Théorème de Schur. Nombres singuliers (s-nombres) des opérateurs......Page 162
10. Ensemble hausdorffien d'un opérateur......Page 165
1. Norme, distance, topologie......Page 168
2. Semi-normes et normes induites......Page 172
3. Ensembles absolument convexes et semi-norrncs. Semi-normes généralisées......Page 175
4. Théorie de Hahn-Banach......Page 177
5. Isométrie, universalité, injection......Page 181
6. La meilleure approximation......Page 184
7. Écart entre deux sous-espaces. Espace métrique de sous-espaces......Page 187
8. Opérateurs isométriques et contractions. Théorie ergodique......Page 192
9. Norme et rayon spectral d'un opérateur......Page 196
10. Normes dans l'espace des opérateurs......Page 199
11. Inégalités entre les normes des puissances d'un opérateur......Page 203
1. Applications multilinéaires et tenseurs......Page 205
2. Tenseurs symétriques et antisyn1étriques. Théorie des déterminants......Page 209
3. Produits extérieurs et formes extérieures......Page 212
4. Puissances tensorielles et extérieures d'un opérateur......Page 217
5. Volume d'une famille de vecteurs. Existence de la base d' Auerbach......Page 219
6. Normes dans les produits tensoriels d'espaces......Page 222
7. Polynômes et séries entières formels de plusieurs variables......Page 223
1. Complexification......Page 229
2. Décomplexification......Page 233
3. Opérateurs dans un espace réel......Page 236
4. Applications différentiables. Normes lisses......Page 240
5. Différentiation des fonctions dépendant d'un opérateur......Page 245
6. Théorème de Steinitz sur les séries vectorielles......Page 249
1. Coins et cônes......Page 250
2. Ensembles convexes......Page 255
3. Théorèmes de séparation......Page 198
4. Points extrémaux......Page 262
5. Inégalités entre les valeurs propres et les nombres singuliers......Page 265
6. Ensembles convexes dans les problèmes de localisation du spectre des opérateurs autoadjoints......Page 269
7. Normes unitairement invariantes et corps symétriques convexes......Page 272
1. Relations d'ordre dans un espace vectoriel......Page 278
2. Théorie des inégalités linéaires......Page 281
3. Problèmes linéaires et convexes d' extrémum......Page 287
4. Problèmes d'extrémum dans l'espace des opérateurs......Page 295
5. Opérateurs monotones......Page 299
6. Relations d'ordre dans l'espace des opérateurs......Page 303
7. Espace ordonné des opérateurs autoadjoints......Page 305
8. Opérateurs positifs et inégalités pour les valeurs propres......Page 308
9. Fonctions monotones et convexes d'un opérateur autoadjoint......Page 311
1. Opérateurs linéaires agissant d'un sous-espace d'un espace vectoriel......Page 315
2. Opérateurs linéaires agissant d'un sous-espace d'un espace unitaire......Page 318
3. Opérateur inverse généralisé......Page 321
4. Théorie des extensions des opérateurs hermitiens et isométriques......Page 323
5. Extensions autoadjointes conservant la norme......Page 326
6. Spectres des extensions autoadjointes et unitaires......Page 330
7. Extensions quasi autoadjointes et quasi unitaires......Page 337
8. Représentation triangulaire par blocs des opérateurs de rang de non-autoadjointicité non nul......Page 343
9. Problème des moments......Page 346
1. Opérateurs dissipatifs et contraction dans un espace euclidien......Page 350
2. Ensembles spectraux......Page 353
3. Problème abstrait de Cauchy et familles d'opérateurs dans un espace normé qui s'y rapportent......Page 356
4. Pseudo-métrique......Page 361
5. Opérateurs pseudo-autoadjoints et pseudo-unitaires......Page 363
6. Sous-espaces invariants des opérateurs pseudo-autoadjoints et pseudo-unitaires......Page 365
7. Faisceau quadratique d'opérateurs autoadjoints......Page 369
8. Transformations homographiques dont les coefficients sont des opérateurs......Page 370
Dictionnaire des notions générales......Page 374
Index des principales notations......Page 377
Auteurs des théorèmes cités......Page 379
Bibliographie......Page 380
Index alphabétique......Page 392