Analyse de Fourier et applications : Filtrage, calcul numérique, ondelettes

Page de titre......Page 1
Avant-propos......Page 10
Images......Page 13
Chapitre I. - Signaux et systèmes......Page 14
1.1. Généralités......Page 15
1.2. Quelques signaux élémentaires......Page 18
1.3. Exemples de systèmes......Page 20
2.1. Propriétés algébriques des systèmes......Page 24
2.2. La continuité d'un système......Page 25
2.3. Le filtre et sa fonction de transfert......Page 27
2.4. Un filtre analogique standard: la cellule RC......Page 28
2.5. Cas d'un filtre discret du premier ordre......Page 30
Chapitre II. - Signaux périodiques......Page 32
3.1. Polynômes trigonométriques......Page 33
3.3. Propriété d'orthogonalité......Page 34
4.1. Le cadre de l'espace L²_P(0, a)......Page 36
4.2. L'idée d'approximation......Page 37
4.3. Convergence de l'approximation......Page 39
4.4. Coefficients de Fourier d'une fonction réelle, paire, impaire......Page 43
4.5. Formulaire......Page 44
5.1. Le théorème de Riemann-Lebesgue......Page 45
5.2. Convergence ponctuelle?......Page 46
5.3. Convergence uniforme de la série de Fourier......Page 50
6.1. Développement en série de Fourier sur un intervalle borné......Page 53
6.2. Développement d'une fonction sur une base orthogonale......Page 55
7.1. Fréquences et spectre......Page 58
7.2. Variations sur la gamme......Page 60
Chapitre III. - Transformée de Fourier discrète et calcul numérique......Page 63
8.1. Le calcul des coefficients de Fourier......Page 64
8.2. Quelques propriétés de la transformée de Fourier discrète......Page 68
8.4. Relation entre coefficients de Fourier exacts et approchés......Page 70
9.1. L'algorithme de Cooley et Tuckey......Page 73
9.2. Évaluation du coût de l'algorithme......Page 76
9.3. La permutation miroir......Page 77
9.4. Un programme récursif......Page 78
10.1. Calcul d'une convolution périodique......Page 80
10.2. Convolution non périodique......Page 82
10.3. Calcul sur des polynômes de degré élevé......Page 83
10.4. Interpolation polynômiale et base de Tchebychev......Page 85
Chapitre IV. - Mise au point sur l'intégrale de Lebesgue......Page 90
11.1. Un peu d' histoire......Page 91
11.3. En guise de transition......Page 93
12.1. Ensembles mesurables. Mesure......Page 95
12.2. Ensembles de mesure nulle......Page 97
12.3. Les fonctions mesurables......Page 99
13.1. Construction de l'intégrale......Page 102
13.2. Propriétés élémentaires de l'intégrale......Page 104
13.3. Intégrale et ensemble de mesure nulle......Page 106
13.4. Comparaison entre l'intégrale de Riemann et Lebesgue......Page 107
14.1. Le théorème de la convergence dominée de Lebesgue......Page 110
14.2. Intégrale dépendant d'un paramètre......Page 111
14.4. Formule de changement de variable dans les intégrales......Page 113
14.5. Intégrale indéfinie de Lebesgue et primitive......Page 114
Chapitre V. - Espaces......Page 117
15.1. Les espaces de fonctions dérivables......Page 118
15.2. Les espaces de fonctions intégrables......Page 120
15.3. Propriétés d'inclusion et de densité......Page 122
16.1. Définitions et propriétés géométriques......Page 125
16.2. Meilleure approximation sur un sous-espace vectoriel......Page 127
16.3. Systèmes orthogonaux - bases hilbertiennes......Page 130
Chapitre VI. - Convolution et transformée de Fourier des fonctions......Page 136
17.1. Transformée de Fourier dans L¹(R)......Page 137
17.2. Règles de calcul sur la transformée de Fourier......Page 139
17.3. Quelques exemples usuels......Page 141
18.1. Le théorème d'inversion dans L¹(R)......Page 144
18.2. Quelques transformées de Fourier obtenues par la formuLe d'inversion......Page 146
18.3. Formule d'inversion de Fourier en valeur principale......Page 147
19.1. Les fonctions à décroissance rapide......Page 150
19.2. L'espace S(R)......Page 151
19.3. Transformée de Fourier inverse sur S......Page 153
20.1. Définitions et exemples......Page 154
20.2. Convolution dans L¹(R)......Page 156
20.3. Convolution dans L^p(R)......Page 157
20.4. Convolution des fonctions à support limité......Page 159
20.5. Tableau récapitulatif......Page 161
21.1. Convolution et continuité......Page 162
21.3. Convolution et régularisation......Page 163
21.4. La convolution S(R) * S(R)......Page 165
22.1. Extension de la transformée de Fourier......Page 167
22.2. Application au calcul de certaines transformées de Fourier......Page 170
22.3. Le principe d'incertitude......Page 171
23.1. Convolution et transformation de Fourier dans L¹(R)......Page 173
23.2. Convolution et transformation de Fourier dans L²(R)......Page 175
23.3. Convolution et transformation de Fourier: récapitulatif......Page 176
Chapitre VII. - Filtres analogiques......Page 179
24.1. Cas où l'entrée et la sortie sont dans S......Page 180
24.2. Solution généralisée de l'équation différentielle......Page 182
24.3. Calcul de la réponse impulsionnelLe quand d°P < d°Q......Page 183
24.5. Systèmes réalisables......Page 185
24.7. Le critère de Routh......Page 187
25.1. Retour sur le filtre RC......Page 189
25.2. Le circuit RLC......Page 190
25.3. Un autre filtre du second ordre: -1/ω² g" + g = f......Page 194
25.4. Filtres intégrateur et dérivateur......Page 195
25.5. Le filtre passe-bas idéal......Page 196
25.6. Les filtres de Butterworth......Page 198
25.7. Le problème général de l'approximation......Page 200
Chapitre VIII. - Les distributions......Page 201
26.1. L'impulsion en physique......Page 202
26.2. Dérapage incontrôlé sur l'impulsion......Page 204
26.3. Une dérivation new-look......Page 206
26.4. Naissance d'une n°uvelle théorie......Page 208
27.1. L'idée de base......Page 209
27.2. L'espace D(R) des fonctions test......Page 210
27.3. Définition d'une distribution......Page 211
27.4. Les distributions comme fonctions généralisées......Page 212
28.1. Distributions paires, impaires ou périodiques......Page 216
28.2. Support d'une distribution......Page 218
28.3. Produit d'une distribution par une fonction......Page 219
28.4. Dérivée d'une distribution......Page 220
28.5. Où apparaissent de nouvelles distributions......Page 223
29.1. limite d'une suite de distributions......Page 227
29.2. Retour sur l'impulsion de Dirac......Page 228
29.3. Lien avec la convergence des fonctions......Page 229
29.4. Application à la convergence des séries trigonométriques......Page 230
29.5. Développement en série de Fourier du peigne de Dirac......Page 232
30.1. Distributions ayant une dérivée nulle......Page 236
30.2. Primitives d'une distribution......Page 237
Chapitre IX. - Convolution et transformée de Fourier des distributions......Page 239
31.1. L'espace S'(R) des distributions tempérées......Page 240
31.2. Ln transformée de Fourier dans S'(R)......Page 243
31.3. Exemples de transformées de Fourier dans S'(R)......Page 245
31.4. L'espace E'(R) des distributions à support compact......Page 247
31.5. La transformation de Fourier dans E'(R)......Page 248
31.6. Formulaire - Transformées de Fourier des distributions tempérées......Page 250
32.1. Convolution d'une distribution et d'une fonction C^∞......Page 251
32.2. Convolution E' * D'......Page 254
32.3. Ln convolution E' * S'......Page 257
32.4. Convolution D'_+ * D'_+......Page 258
32.5. L'associativité de la convolution......Page 260
33.1. Transformation de Fourier et convolution S * S'......Page 262
33.2. Transformation de Fourier et convolution E' * S'......Page 263
33.4. Ln transformation de Hilbert......Page 264
33.5. Signal analytique associé à un signal réel......Page 266
Chapitre X. - Filtres et distributions......Page 267
34.1. Compléments sur les filtres......Page 268
34.3. Solutions tempérées d'équations différentielles linéaires......Page 270
35.1. Expression de la solution causale de l'équation......Page 274
35.2. Exemples......Page 276
Chapitre XI. - Echantillonnage et filtres discrets......Page 281
36.1. Série de Fourier d'une fonction périodique localement intégrable......Page 282
36.2. Série de Fourier d'une distribution périodique......Page 283
34.3. Produit d'une distribution et d'une fonction périodiques......Page 287
LEÇON n°37. - Echantillonnage des signaux et formule de Poisson......Page 289
37.1. Formule de Poisson dans E'......Page 290
37.2. Formule de Poisson dans L¹(R)......Page 291
37.3. Application à l'étude du spectre d'un signal échantillonné......Page 293
37.4. Application à l'accélération de la convergence d'une série de Fourier......Page 296
LEÇON n°38. - Théorème d'échantillonnage et fonnule de Shannon......Page 297
38.1. Théorème de Shannon......Page 299
38.2. Cas d'unefonction trigonométrique f(t) = etc......Page 300
38.4. Les fonctions sinus cardinal......Page 301
38.5. Echantillonnage et calcul numérique d'un spectre......Page 303
39.1. Signaux et filtres discrets......Page 306
39.2. Convolution de deux signaux discrets......Page 307
39.3. Cas où les deux supports sont non limités......Page 309
39.4. Résumé......Page 312
39.5. Stabilité et causalité d'un filtre discret......Page 313
40.1. Transformée en z d'un signal discret......Page 315
40.2. Application aux filtres discrets......Page 318
Chapitre XII. - Perspectives actuelles: l'analyse temps..fréquence......Page 322
41.1. Les limites de l'analyse de Fourier standard......Page 323
41.2. Où l'on ouvre des fenêtres......Page 324
41.3. Les formules de D. Gabor......Page 326
41.4. Bilan sur les méthodes de Fourier et Gabor......Page 330
42.1. L'idée de base: l'accordéon......Page 332
42.2. La transformée en ondelettes......Page 334
42.3. Les ondelettes orthogonales......Page 342
42.4. Analyses multirésolution de L²......Page 346
42.5. Analyse multirésolution et base d'ondelettes......Page 349
42.6. Conclusion......Page 357
BIBLIOGRAPHIE......Page 359
INDEX ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES......Page 361