An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich’s Formula for Rational Plane Curves

این کتاب مقدمه‌ای مقدماتی بر نقشه‌های پایدار و هم‌شناسی کوانتومی است که با مقدمه‌ای بر منحنی‌های نوک تیز پایدار شروع می‌شود و با اثبات ارتباط محصول کوانتومی به اوج خود می‌رسد. دیدگاه بیشتر مربوط به هندسه شمارشی است و موضوع قرمز رنگ نمایش، مسئله شمارش منحنی های صفحه گویا است. فرمول کونتسویچ در ابتدا در چارچوب هندسه شمارشی کلاسیک، سپس به عنوان بیانیه ای در مورد بازسازی برای تغییرات گروموف-ویتن، و در نهایت، با استفاده از توابع مولد، به عنوان یک مورد خاص از انجمنی بودن محصول کوانتومی ایجاد شد.

در سراسر توضیح به مثال‌ها، بحث‌های اکتشافی، و کاربردهای ساده ابزارهای اساسی تأکید می‌شود تا شهود پشت موضوع را به بهترین نحو منتقل کند. این کتاب با نشان دادن چگونگی تناسب آنها با هندسه جبری کلاسیک، این تکنیک‌های کوانتومی جدید را رمزگشایی می‌کند.

آشنایی با هندسه پایه جبری و نظریه تقاطع ابتدایی فرض می شود. هر فصل با برخی از نظرات تاریخی و طرح کلی موضوعات و مضامین کلیدی به عنوان راهنمایی برای مطالعه بیشتر، به پایان می رسد، و پس از آن مجموعه ای از تمرین ها که مکمل مطالب پوشش داده شده و تقویت مهارت های محاسباتی است. به این ترتیب، این کتاب برای خودآموزی، به عنوان متنی برای یک دوره آموزشی کوچک در کوهمولوژی کوانتومی، یا به عنوان متن موضوعات ویژه در یک دوره استاندارد در نظریه تقاطع ایده آل است. این کتاب به همان اندازه برای دانشجویان فارغ التحصیل در محیط کلاس مفید خواهد بود و برای محققان هندسه و فیزیک که مایل به یادگیری در مورد این موضوع هستند.

This book is an elementary introduction to stable maps and quantum cohomology, starting with an introduction to stable pointed curves, and culminating with a proof of the associativity of the quantum product. The viewpoint is mostly that of enumerative geometry, and the red thread of the exposition is the problem of counting rational plane curves. Kontsevich's formula is initially established in the framework of classical enumerative geometry, then as a statement about reconstruction for Gromov–Witten invariants, and finally, using generating functions, as a special case of the associativity of the quantum product.

Emphasis is given throughout the exposition to examples, heuristic discussions, and simple applications of the basic tools to best convey the intuition behind the subject. The book demystifies these new quantum techniques by showing how they fit into classical algebraic geometry.

Some familiarity with basic algebraic geometry and elementary intersection theory is assumed. Each chapter concludes with some historical comments and an outline of key topics and themes as a guide for further study, followed by a collection of exercises that complement the material covered and reinforce computational skills. As such, the book is ideal for self-study, as a text for a mini-course in quantum cohomology, or as a special topics text in a standard course in intersection theory. The book will prove equally useful to graduate students in the classroom setting as to researchers in geometry and physics who wish to learn about the subject.