An Introduction To Viscosity Solutions for Fully Nonlinear PDE with Applications to Calculus of Variations in L∞

هدف این کتاب ارائه سریع و ابتدایی و در عین حال دقیق مبانی نظریه به اصطلاح راه حل های ویسکوزیته است که برای معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه 1 و 2 کاملا غیرخطی (PDE) اعمال می شود. برای چنین معادلاتی، به‌ویژه برای معادلات مرتبه دوم، راه‌حل‌ها عموماً روش‌های غیر هموار هستند و روش‌های استاندارد به منظور تعریف «راه‌حل ضعیف» کاربرد ندارند: راه‌حل‌های کلاسیک، تقریباً در همه جا قوی، راه‌حل‌های ضعیف، با ارزش اندازه‌گیری و توزیعی نیز چنین هستند. وجود ندارد یا حتی ممکن است تعریف نشده باشد. دلیل اصلی شکست دومی این است که ایده استاندارد استفاده از \"ادغام به وسیله قطعات\" به منظور عبور مشتقات به توابع تست صاف توسط دوگانگی، برای ساختار غیر واگرایی PDE موجود نیست.

The purpose of this book is to give a quick and elementary, yet rigorous, presentation of the rudiments of the so-called theory of Viscosity Solutions which applies to fully nonlinear 1st and 2nd order Partial Differential Equations (PDE). For such equations, particularly for 2nd order ones, solutions generally are non-smooth and standard approaches in order to define a "weak solution" do not apply: classical, strong almost everywhere, weak, measure-valued and distributional solutions either do not exist or may not even be defined. The main reason for the latter failure is that, the standard idea of using "integration-by-parts" in order to pass derivatives to smooth test functions by duality, is not available for non-divergence structure PDE.