An introduction to noncommutative noetherian rings

Cover......Page 1
Series-title......Page 3
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Contents......Page 7
Introduction to the Second Edition......Page 10
Introduction to the First Edition......Page 13
• POLYNOMIAL IDENTITY RINGS •......Page 16
• GROUP ALGEBRAS •......Page 18
• RINGS OF DIFFERENTIAL OPERATORS •......Page 19
• ENVELOPING ALGEBRAS •......Page 21
• QUANTUM GROUPS •......Page 23
• NOTATION AND TERMINOLOGY •......Page 24
• THE NOETHERIAN CONDITION •......Page 27
• FORMAL TRIANGULAR MATRIX RINGS •......Page 30
• THE HILBERT BASIS THEOREM •......Page 33
• SKEW POLYNOMIAL RINGS TWISTED BY AUTOMORPHISMS •......Page 35
• SKEW-LAURENT RINGS •......Page 41
• SIMPLICITY IN SKEW-LAURENT RINGS •......Page 46
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 49
• NOTES •......Page 51
• FORMAL DIFFERENTIAL OPERATOR RINGS •......Page 52
• WEYL ALGEBRAS •......Page 56
• GENERAL SKEW POLYNOMIAL RINGS •......Page 58
• A GENERAL SKEW HILBERT BASIS THEOREM •......Page 64
• SOME EXAMPLES •......Page 66
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 70
• NOTES •......Page 71
• PRIME IDEALS •......Page 73
• SEMIPRIME IDEALS AND NILPOTENCE •......Page 77
• ANNIHILATORS AND ASSOCIATED PRIME IDEALS •......Page 80
• SOME EXAMPLES FROM REPRESENTATION THEORY •......Page 84
• PRIMITIVE AND SEMIPRIMITIVE IDEALS •......Page 86
• PRIME IDEALS IN DIFFERENTIAL OPERATOR RINGS •......Page 89
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 92
• NOTES •......Page 93
4. Semisimple Modules, Artinian Modules, and Torsionfree Modules......Page 95
• SEMISIMPLE MODULES •......Page 96
• SEMISIMPLE RINGS •......Page 98
• ARTINIAN MODULES •......Page 99
• ARTINIAN RINGS •......Page 104
• TORSION AND TORSIONFREE MODULES •......Page 107
• NOTES •......Page 110
5. Injective Hulls......Page 112
• INJECTIVE MODULES •......Page 113
• ESSENTIAL EXTENSIONS •......Page 114
• INJECTIVE HULLS •......Page 117
• MODULES OF FINITE RANK •......Page 120
• UNIFORM RANK •......Page 124
• DIRECT SUMS OF INJECTIVE MODULES •......Page 125
• ASSASSINATOR PRIMES •......Page 127
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 128
• NOTES •......Page 129
• RINGS OF FRACTIONS •......Page 131
• DIVISION RINGS OF FRACTIONS •......Page 137
• GOLDIE’S THEOREM •......Page 140
• NIL SUBSETS •......Page 145
• NOTES •......Page 147
• MINIMAL PRIME IDEALS •......Page 149
• TORSION •......Page 152
• TORSIONFREE INJECTIVE MODULES •......Page 154
• TORSIONFREE UNIFORM MODULES •......Page 157
• TORSIONFREE MODULES OVER PRIME GOLDIE RINGS •......Page 159
• NOTES •......Page 161
• NOETHERIAN BIMODULES •......Page 162
• AFFILIATED PRIME IDEALS •......Page 163
• ARTINIAN BIMODULES •......Page 168
• PRIME IDEALS IN FINITE RING EXTENSIONS •......Page 170
• BIMODULE COMPOSITION SERIES •......Page 173
• ADDITIVITY PRINCIPLES •......Page 176
• NORMALIZING EXTENSIONS •......Page 178
• NOTES •......Page 181
• BOUNDEDNESS •......Page 182
• EMBEDDING MODULES INTO FACTOR RINGS •......Page 185
• ARTINIAN MODULES •......Page 187
• UNIFORM INJECTIVE MODULES •......Page 189
• NOTES •......Page 190
10. Rings and Modules of Fractions......Page 192
• RINGS OF FRACTIONS •......Page 193
• MODULES OF FRACTIONS •......Page 198
• SUBMODULES OF MODULES OF FRACTIONS •......Page 203
• IDEALS IN RINGS OF FRACTIONS •......Page 205
• PRIME IDEALS IN ITERATED DIFFERENTIAL OPERATOR RINGS •......Page 208
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 210
• NOTES •......Page 211
• REDUCED RANK •......Page 213
• APPLICATIONS OF REDUCED RANK TO FINITE RING EXTENSIONS •......Page 216
• SMALL’S THEOREM •......Page 218
• AFFILIATED PRIME IDEALS •......Page 221
• NOTES •......Page 223
• LINKS •......Page 224
• LINKS AND SHORT AFFILIATED SERIES •......Page 228
• LINKS AND AFFILIATED PRIMES •......Page 231
• ARTINIAN RINGS •......Page 238
• NORMAL ELEMENTS •......Page 240
• ADDITIONAL EXERCISES •......Page 245
• NOTES •......Page 246
• THE ARTIN-REES PROPERTY •......Page 248
• LINK-FINITENESS •......Page 251
• MODULE-FINITE ALGEBRAS •......Page 253
• NOTES •......Page 257
• CLASSICAL KRULL DIMENSION •......Page 259
• BIMODULE SYMMETRY AND INTERSECTION THEOREMS •......Page 262
• FINITE RING EXTENSIONS •......Page 265
• LOCALIZATION AT A SEMIPRIME IDEAL •......Page 269
• EMBEDDINGS INTO ARTINIAN RINGS •......Page 275
• LOCALIZATION AT INFINITE SETS OF PRIME IDEALS •......Page 276
• NOTES •......Page 279
• DEFINITIONS AND BASIC PROPERTIES •......Page 281
• PRIME NOETHERIAN RINGS •......Page 284
• CRITICAL MODULES •......Page 285
• CRITICAL COMPOSITION SERIES •......Page 287
• FBN RINGS •......Page 291
• POLYNOMIAL AND SKEW POLYNOMIAL RINGS •......Page 292
• WEYL ALGEBRAS •......Page 297
• NOTES •......Page 298
• TOPOLOGIES ON THE PRIME SPECTRUM •......Page 300
• LOCAL NUMBERS OF GENERATORS •......Page 303
• PATCH-CONTINUITY OF NORMALIZED RANKS •......Page 306
• GENERATING MODULES OVER SIMPLE NOETHERIAN RINGS •......Page 309
• GENERIC REGULARITY •......Page 310
• GENERATING MODULES OVER FBN RINGS •......Page 312
• COUNTABILITY OF CLIQUES •......Page 317
• NOTES •......Page 319
17. Transcendental Division Algebras......Page 321
• POLYNOMIALS OVER DIVISION RINGS •......Page 322
• MORE VARIABLES •......Page 326
• THE NULLSTELLENSATZ •......Page 328
• FULLY BOUNDED G-RINGS •......Page 331
• PRIMITIVITY AND TRANSCENDENCE DEGREE •......Page 335
• QUOTIENT DIVISION RINGS OF WEYL ALGEBRAS AND QUANTUM PLANES •......Page 338
• FINITE GENERATION OF SUBFIELDS •......Page 341
• NOTES •......Page 343
1. Jacobson’s Conjecture.......Page 345
4. Countability of Chains of Ideals or Submodules.......Page 346
6. Krull Versus Global Dimension.......Page 347
7. Global Dimension via Simple Modules.......Page 348
10. Transfer Across Noetherian Bimodules.......Page 349
12. Localizability of Cliques.......Page 350
15. Extension of a Base Field.......Page 351
18. Symmetry of Primitivity.......Page 352
20. Torsionfree Modules over Simple Noetherian Rings.......Page 353
Bibliography......Page 354
Index......Page 364