An Introduction to Models and Decompositions in Operator Theory

منظور ما از عملگر فضای هیلبرت، یک تبدیل خطی محدود بین فضاهای پیچیده هیلبرت است. تجزیه و مدل‌ها برای عملگرهای فضای هیلبرت، موضوعات تحقیقاتی بسیار فعالی در نظریه عملگر در طول سه دهه گذشته بوده‌اند. انگیزه اصلی پشت آن‌ها مسئله زیرفضای متغیر است: آیا هر عملگر فضای هیلبرت یک زیرفضای ثابت ناچیز دارد؟ این شاید مشهورترین سؤال باز در نظریه عملگر باشد. توضیح ارتباط آن آسان است: عملگرهای عادی دارای زیرفضاهای ثابت (شاهد: قضیه طیفی)، و همچنین عملگرهایی در فضاهای هیلبرت با ابعاد محدود (شاهد: شکل متعارف جردن) هستند. اگر کسی موافق باشد که هر یک از اینها (مثلاً قضیه طیفی و شکل متعارف جردن) به اندازه کافی مهم است که بتوان هرگونه توجیه بیشتر را رد کرد، آنگاه جستجو برای زیرفضاهای ثابت ناچیز یک امر طبیعی است. و در آن یک سرکش. عملگرهای غیرعادی دارای زیرفضاهای ثابت ناچیز (بسط دادن شاخه نرمال) و همچنین عملگرهای فشرده (توسعه شاخه بعدی محدود) هستند، اما این سوال حتی برای کلاس های به همان اندازه ساده (یعنی تعریف ساده) از عملگرهای فضای هیلبرت بی پاسخ می ماند. مثالها: عملگرهای هیپونرمال و شبه توانمند). با این حال، جست‌وجوی زیرفضای ثابت به هیچ وجه با شکست مواجه نشده است، حتی اگر هنوز حل نشده باشد. جستجو برای زیرفضاهای ثابت ناچیز بدون شک نتایج خوبی در نظریه عملگرها به همراه داشته است، از جمله نتایج مربوط به تجزیه و مدل‌های عملگرهای فضای هیلبرت. این کتاب شامل نه فصل است.

By a Hilbert-space operator we mean a bounded linear transformation be­ tween separable complex Hilbert spaces. Decompositions and models for Hilbert-space operators have been very active research topics in operator theory over the past three decades. The main motivation behind them is the in­ variant subspace problem: does every Hilbert-space operator have a nontrivial invariant subspace? This is perhaps the most celebrated open question in op­ erator theory. Its relevance is easy to explain: normal operators have invariant subspaces (witness: the Spectral Theorem), as well as operators on finite­ dimensional Hilbert spaces (witness: canonical Jordan form). If one agrees that each of these (i. e. the Spectral Theorem and canonical Jordan form) is important enough an achievement to dismiss any further justification, then the search for nontrivial invariant subspaces is a natural one; and a recalcitrant one at that. Subnormal operators have nontrivial invariant subspaces (extending the normal branch), as well as compact operators (extending the finite-dimensional branch), but the question remains unanswered even for equally simple (i. e. simple to define) particular classes of Hilbert-space operators (examples: hyponormal and quasinilpotent operators). Yet the invariant subspace quest has certainly not been a failure at all, even though far from being settled. The search for nontrivial invariant subspaces has undoubtly yielded a lot of nice results in operator theory, among them, those concerning decompositions and models for Hilbert-space operators. This book contains nine chapters.