An Introduction to Mathematical Billiards

بیلیارد ریاضی یک سیستم مکانیکی متشکل از یک توپ بیلیارد روی میز به هر شکلی است (که می‌تواند مسطح یا حتی یک دامنه چند بعدی باشد) اما بدون جیب بیلیارد. توپ حرکت می کند و مسیر حرکت آن با موقعیت اولیه توپ و بردار سرعت اولیه آن مشخص می شود. فرض بر این است که انعکاس توپ از مرز جدول این ویژگی را دارد که زوایای انعکاس و تابش یکسان است. این کتاب به طور جامع نتایج شناخته شده ای را در مورد رفتار یک مسیر توپ بیلیارد بر روی یک میز مسطح ارائه می دهد (با یکی از اشکال زیر: دایره، بیضی، مثلث، مستطیل، چند ضلعی و برخی حوزه های محدب کلی). این یک مرور سیستماتیک از نظریه سیستم های دینامیکی، با ارائه مختصر بیلیارد در ریاضیات ابتدایی و بیلیارد ساده مرتبط با هندسه و فیزیک ارائه می دهد.

توضیح این مسیرها منجر به حل سؤالات مختلف در ریاضیات و مکانیک: مشکلات مربوط به انتقال مایعات، روشنایی اتاق‌های آینه، خرد شدن سنگ‌ها در کلیه، برخورد ذرات گاز و غیره. روش های فیزیک نظری و مکانیک که در زمینه های زیست شناسی، ریاضیات، پزشکی و فیزیک کاربرد دارد.

A mathematical billiard is a mechanical system consisting of a billiard ball on a table of any form (which can be planar or even a multidimensional domain) but without billiard pockets. The ball moves and its trajectory is defined by the ball's initial position and its initial speed vector. The ball's reflections from the boundary of the table are assumed to have the property that the reflection and incidence angles are the same. This book comprehensively presents known results on the behavior of a trajectory of a billiard ball on a planar table (having one of the following forms: circle, ellipse, triangle, rectangle, polygon and some general convex domains). It provides a systematic review of the theory of dynamical systems, with a concise presentation of billiards in elementary mathematics and simple billiards related to geometry and physics.

The description of these trajectories leads to the solution of various questions in mathematics and mechanics: problems related to liquid transfusion, lighting of mirror rooms, crushing of stones in a kidney, collisions of gas particles, etc. The analysis of billiard trajectories can involve methods of geometry, dynamical systems, and ergodic theory, as well as methods of theoretical physics and mechanics, which has applications in the fields of biology, mathematics, medicine, and physics.