An Introduction to Knot Theory

این حساب مقدمه ای بر نظریه گره های ریاضی، نظریه گره ها و پیوندهای منحنی های بسته ساده در فضای سه بعدی است. گره ها را می توان در سطوح مختلف و از دیدگاه های مختلف مطالعه کرد. آنها را می توان به عنوان مصنوعات هنرهای تزئینی و صنایع دستی تحسین کرد، یا به عنوان نشانه های قابل دسترس از پیچیدگی هندسی که ممکن است هرگز به دست نیاید. مطالعه گره ها می تواند انگیزه هایی را از نظر کاربرد در زیست شناسی مولکولی یا با ارجاع به نقاط موازی در مکانیک آماری تعادل یا نظریه میدان کوانتومی ایجاد کند. اما در اینجا نظریه گره به عنوان بخشی از توپولوژی هندسی در نظر گرفته می شود. انگیزه چنین مطالعه توپولوژیکی گره‌ها ناشی از کنجکاوی است که بدانیم چگونه می‌توان با گره‌بندی پدیده‌ها با استفاده از ریاضیات دقیق، ژئومتری فضای سه‌بعدی را کشف کرد. هدف، یافتن متغیرهایی است که گره ها را متمایز می کند، بررسی خواص هندسی گره ها و دیدن چیزی از نحوه تعامل آنها با توپولوژی سه بعدی ماجراجویانه تر. این کتاب بر اساس یک نسخه توسعه یافته از یادداشت ها برای دوره ای برای فارغ التحصیلان اخیر در ریاضیات ارائه شده در دانشگاه کمبریج است. برای دیگران با سطح مشابهی از درک ریاضی در نظر گرفته شده است. به طور خاص، آگاهی از ایده های بسیار اساسی گروه بنیادی و یک نظریه همسانی ساده فرض می شود. به هر حال، دانستن در مورد آن موضوعات مهم تر از پیچیدگی های نظریه گره است.

This account is an introduction to mathematical knot theory, the theory of knots and links of simple closed curves in three-dimensional space. Knots can be studied at many levels and from many points of view. They can be admired as artifacts of the decorative arts and crafts, or viewed as accessible intimations of a geometrical sophistication that may never be attained. The study of knots can be given some motivation in terms of applications in molecular biology or by reference to paral­ lels in equilibrium statistical mechanics or quantum field theory. Here, however, knot theory is considered as part of geometric topology. Motivation for such a topological study of knots is meant to come from a curiosity to know how the ge­ ometry of three-dimensional space can be explored by knotting phenomena using precise mathematics. The aim will be to find invariants that distinguish knots, to investigate geometric properties of knots and to see something of the way they interact with more adventurous three-dimensional topology. The book is based on an expanded version of notes for a course for recent graduates in mathematics given at the University of Cambridge; it is intended for others with a similar level of mathematical understanding. In particular, a knowledge of the very basic ideas of the fundamental group and of a simple homology theory is assumed; it is, after all, more important to know about those topics than about the intricacies of knot theory.