An Introduction to Convex Polytopes

هدف این کتاب این است که خواننده را با دنیای جذاب پلی توپ های محدب آشنا کند. نکات برجسته کتاب سه قضیه اصلی در نظریه ترکیبی چند توپهای محدب است که به روابط دهن-سامرویل، قضیه کران بالا و قضیه کران پایین معروف است. تمام اطلاعات پس‌زمینه مجموعه‌های محدب و پلی‌توپ‌های محدب که برای درک و درک این سه قضیه توضیح داده شده‌اند، با جزئیات توسعه داده شده‌اند. این مطالب پس‌زمینه همچنین پایه‌ای برای مطالعه سایر جنبه‌های نظریه پلی‌توپ است. روابط دهن-سامرویل کلاسیک هستند، در حالی که اثبات قضیه کران بالا و قضیه کران پایین تاریخ جدیدتری دارند: آنها به ترتیب در اوایل دهه 1970 توسط P. McMullen و D. Barnette یافت شدند. حدس معروف P. McMullen در مورد مشخصه بردارهای غیر بردار چند توپ ساده یا ساده به همان دوره مربوط می شود. کتاب با بحث مختصری در مورد این حدس و برخی از روابط آن با روابط دهن-سامرویل، قضیه کران بالا و قضیه کران پایین پایان می‌یابد. با این حال، شواهد اخیر مبنی بر اینکه شرایط مک مولن هم کافی است (L. J. Billera and C. W. Lee, 1980) و هم ضروری (R. P. Stanley, 1980) فراتر از محدوده کتاب است. پیش نیازهای خواندن کتاب کم است: جبر خطی استاندارد و توپولوژی مجموعه نقطه ابتدایی در [R1d کافی است.

The aim of this book is to introduce the reader to the fascinating world of convex polytopes. The highlights of the book are three main theorems in the combinatorial theory of convex polytopes, known as the Dehn-Sommerville Relations, the Upper Bound Theorem and the Lower Bound Theorem. All the background information on convex sets and convex polytopes which is m~eded to under­ stand and appreciate these three theorems is developed in detail. This background material also forms a basis for studying other aspects of polytope theory. The Dehn-Sommerville Relations are classical, whereas the proofs of the Upper Bound Theorem and the Lower Bound Theorem are of more recent date: they were found in the early 1970's by P. McMullen and D. Barnette, respectively. A famous conjecture of P. McMullen on the charac­ terization off-vectors of simplicial or simple polytopes dates from the same period; the book ends with a brief discussion of this conjecture and some of its relations to the Dehn-Sommerville Relations, the Upper Bound Theorem and the Lower Bound Theorem. However, the recent proofs that McMullen's conditions are both sufficient (L. J. Billera and C. W. Lee, 1980) and necessary (R. P. Stanley, 1980) go beyond the scope of the book. Prerequisites for reading the book are modest: standard linear algebra and elementary point set topology in [R1d will suffice.