An Introduction to Algebraic Topology

مطالعه ای وجود دارد که هر کتاب درسی توپولوژی جبری یا با تعریف بطری کلاین به پایان می رسد یا ارتباط شخصی با J. H. C. Whitehead است. البته این نادرست است، همانطور که با نگاهی اجمالی به کتاب های هیلتون و ویلی، ماندر، مونکرس و شوبرت آشکار می شود. با این حال، کانارد حقیقتی را منعکس می کند. اغلب اوقات کلیت بیش از حد و توجه کم به جزئیات پیدا می شود. دو نوع مانع برای یادگیری توپولوژی جبری دانش آموز وجود دارد. اولین مورد، آرایه هولناک تکنیک های جدید است (به عنوان مثال، اکثر دانش آموزان جبر همسانی را بسیار کمی می دانند). مانع دوم این است که تعاریف اساسی آنقدر انتزاع شده اند که منشأ هندسی یا تحلیلی آنها پنهان شده است. من سعی کرده ام بر این موانع غلبه کنم. در وهله اول، تعاریف جدید تنها در صورت نیاز معرفی می‌شوند (به عنوان مثال، همسانی با ضرایب و هم‌شناسی تا زمانی که بدیهیات آیلنبرگ-استینرود برای سه نظریه همسانی مورد بررسی قرار می‌گیرند، به تعویق می‌افتند. علاوه بر این، تمرینات زیادی برای کمک به خواننده در جذب مطالب ارائه می شود. در مورد دوم، تعاریف مهم اغلب با یک بحث غیررسمی همراه است که منشأ آنها را توصیف می کند (به عنوان مثال، اعداد سیم پیچ قبل از محاسبه 1tl (Sl) مورد بحث قرار می گیرند، قضیه گرین قبل از تعریف همسانی رخ می دهد، و اشکال دیفرانسیل قبل از معرفی cohomology ظاهر می شود. ما فرض می کنیم که خواننده اولین دوره را در توپولوژی مجموعه نقطه ای داشته است، اما در مورد فضاهای ضریب، اتصال مسیر، و فضاهای تابع بحث می کنیم.

There is a canard that every textbook of algebraic topology either ends with the definition of the Klein bottle or is a personal communication to J. H. C. Whitehead. Of course, this is false, as a glance at the books of Hilton and Wylie, Maunder, Munkres, and Schubert reveals. Still, the canard does reflect some truth. Too often one finds too much generality and too little attention to details. There are two types of obstacle for the student learning algebraic topology. The first is the formidable array of new techniques (e. g. , most students know very little homological algebra); the second obstacle is that the basic defini­ tions have been so abstracted that their geometric or analytic origins have been obscured. I have tried to overcome these barriers. In the first instance, new definitions are introduced only when needed (e. g. , homology with coeffi­ cients and cohomology are deferred until after the Eilenberg-Steenrod axioms have been verified for the three homology theories we treat-singular, sim­ plicial, and cellular). Moreover, many exercises are given to help the reader assimilate material. In the second instance, important definitions are often accompanied by an informal discussion describing their origins (e. g. , winding numbers are discussed before computing 1tl (Sl), Green's theorem occurs before defining homology, and differential forms appear before introducing cohomology). We assume that the reader has had a first course in point-set topology, but we do discuss quotient spaces, path connectedness, and function spaces.