Algèbre et Géométrie

I GROUPES 9
1 La catégorie des groupes 11
1.1 Factorisation d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Loi de composition interne sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Noyau et image d’un homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Indice d’un sous-groupe, théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Factorisation des homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11 Caractérisation du produit direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Procédé de symétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Sous-groupes de Z et de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Sous-groupe engendré par un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.15 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Actions de groupes 39
2.1 Groupe agissant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Orbite, stabilisateur d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Action d’un groupe fini sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Théorème d’isomorphisme de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Produits semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Caractérisation des produits semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Groupes abéliens finis 59
3.1 Groupes cycliques, générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Homomorphismes entre groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Sous-groupes d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Produit de deux groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Groupes d’ordre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Décomposition cyclique d’un groupe abélien fini . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.8 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Le groupe symétrique 79
4.1 Décomposition d’une permutation en cycles . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Cycles conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Générateurs du groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Non résolubilité du groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Sous-groupes de Sylow 91
5.1 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Structure de quelques groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Groupes d’ordre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
II GEOMETRIE 103
6 Géométrie affine 105
6.1 Espace affine associé à un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Repères cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Existence d’applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Isomorphismes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.6 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.7 Sous-espaces affines en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.8 Sous-espaces affines et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.9 Groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.10 Groupe des homothéties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.11 Orientation d’un espace affine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.12 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7 Barycentres en géométrie affine 133
7.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Applications affines et barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Sous-espaces affines et barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4 Repères affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Espace affine hyperplan d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 Parties convexes d’un espace affine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.7 Enveloppe convexe d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.8 Points extrémaux d’une partie convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.9 Sommets des polygones et polyèdres convexes . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.10 Les polyèdres convexes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.11 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Géométrie affine euclidienne 153
8.1 Espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2 Rappels sur le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Symétries glissées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6 Isométries produits de symétries hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.7 Groupe des isométries de E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.8 Décomposition canonique d’une isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.9 Classification des isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.10 Classification des isométries de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.11 Groupe des similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.12 Sous-groupes finis du groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . 171
8.13 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
III ANNEAUX 187
9 Généralités sur les anneaux 189
9.1 Les objets de cette catégorie mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2 Les morphismes dans cette catégorie mathématique . . . . . . . . . . . . 192
9.3 Les sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.4 Sous-anneau engendré par une partie non vide . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.5 Idéaux d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.6 Intersection et somme d’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.7 Quotient d’un anneau par un idéal bilatère . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.8 Idéaux maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.9 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.10 Corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.11 Quotient par un idéal maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.12 Sous-corps premier d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.13 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 Anneaux de polynômes 213
10.1 Polynômes à coefficients dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.3 Fonction polynomiale et racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . 216
10.4 Dérivée formelle d’un polynôme, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . 217
10.5 Multiplicité d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6 Un exemple: les polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.7 Groupe K ⇤ lorsque K est un corps commutatif . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.8 Le polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.9 Résolution des équations du troisième degré . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11 Anneaux principaux 237
11.1 Idéaux principaux, anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.2 Exemples classiques: les anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.3 Entiers d’un corps quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.4 Divisibilité dans un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.5 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.6 Anneau des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.7 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.8 Quotients dans les anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.9 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

IV Théorie des nombres 261
12 Arithmétique 263
12.1 Congruences, anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2 Théorèmes de Fermat-Euler et de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
12.3 Résidus quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.4 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.5 Nombres de Mersenne, nombres de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.6 Un pas vers le théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.7 Equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.8 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13 Nombres algébriques 289
13.1 Eléments algébriques d’une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
13.2 Une application à l’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
13.3 Nombres transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.4 Le corps des nombres algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.5 Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.6 Quelques constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.7 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14 Anneaux factoriels 307
14.1 Une généralisation des anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.2 Polynômes primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.3 Irréductibilité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.4 Anneau des polynômes sur un anneau factoriel . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.5 Critère d’irréductibilité d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
14.6 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . 317
INDEX 319