Algèbre Commutative: Méthodes constructives - Modules projectifs de type fini [preliminary version 22 August 2011]

Table des matières......Page 3
Avant-Propos......Page 9
Introduction......Page 23
Fibrés vectoriels sur une variété compacte lisse......Page 24
Formes différentielles sur une variété affine lisse......Page 28
Principe local-global de base et systèmes linéaires......Page 33
Quelques faits concernant les localisations......Page 34
Principe local-global de base......Page 36
Anneaux et modules cohérents......Page 42
Systèmes fondamentaux d'idempotents orthogonaux......Page 46
Un peu d'algèbre extérieure......Page 48
Principe local-global de base pour les modules......Page 65
Exercices et problèmes......Page 67
Commentaires bibliographiques......Page 77
La méthode des coefficients indéterminés......Page 79
Introduction......Page 80
Anneaux de polynômes......Page 81
Lemme de Dedekind-Mertens......Page 85
Un théorème de Kronecker......Page 86
L'algèbre de décomposition universelle (1)......Page 89
Discriminant, diagonalisation......Page 91
Théorie de Galois de base (1)......Page 96
Le résultant......Page 104
Théorie algébrique des nombres, premiers pas......Page 111
Le Nullstellensatz de Hilbert......Page 120
La méthode de Newton en algèbre......Page 126
Exercices et problèmes......Page 128
Commentaires bibliographiques......Page 146
Modules de présentation finie......Page 147
Définition, changement de système générateur......Page 148
Idéaux de présentation finie......Page 151
Catégorie des modules de présentation finie......Page 155
Propriétés de stabilité......Page 156
Problèmes de classification......Page 163
Anneaux quasi intègres......Page 164
Anneaux de Bezout......Page 166
Anneaux zéro-dimensionnels......Page 169
Idéaux de Fitting......Page 176
Idéal résultant......Page 178
Exercices et problèmes......Page 180
Commentaires bibliographiques......Page 188
Introduction......Page 189
Généralités......Page 190
Sur les anneaux zéro-dimensionnels......Page 196
Modules stablement libres......Page 197
Constructions naturelles......Page 200
Théorème de structure locale......Page 201
Modules localement monogènes projectifs......Page 202
Déterminant, polynôme fondamental et polynôme rang......Page 207
Propriétés de caractère fini......Page 214
Exercices et problèmes......Page 216
Commentaires bibliographiques......Page 226
Algèbres strictement finies et algèbres galoisiennes......Page 227
Algèbres étales sur un corps discret......Page 228
Théorie de Galois de base (2)......Page 235
Algèbres de présentation finie......Page 236
Algèbres strictement finies......Page 243
Formes linéaires dualisantes, algèbres strictement étales......Page 246
Algèbres séparables......Page 251
Algèbres galoisiennes, théorie générale......Page 260
Exercices et problèmes......Page 271
Commentaires bibliographiques......Page 284
La méthode dynamique......Page 285
Introduction......Page 286
Le Nullstellensatz sans clôture algébrique......Page 287
La méthode dynamique......Page 292
Introduction aux algèbres de Boole......Page 295
L'algèbre de décomposition universelle (2)......Page 300
Corps de racines d'un polynôme sur un corps discret......Page 308
Théorie de Galois d'un polynôme séparable sur un corps discret......Page 311
Exercices et problèmes......Page 317
Commentaires bibliographiques......Page 325
Premières propriétés......Page 327
Modules plats de type fini......Page 333
Idéaux principaux plats......Page 335
Idéaux plats de type fini......Page 336
Algèbres plates......Page 339
Algèbres fidèlement plates......Page 342
Exercices et problèmes......Page 346
Commentaires bibliographiques......Page 347
Quelques définitions constructives......Page 349
Quatre lemmes importants......Page 353
Localisation en 1 + a......Page 356
Exemples d'anneaux locaux en géométrie algébrique......Page 357
Anneaux décomposables......Page 366
Anneau local-global......Page 368
Exercices et problèmes......Page 374
Commentaires bibliographiques......Page 379
Introduction......Page 381
Les modules projectifs de type fini sont localement libres......Page 382
L'anneau des rangs généralisés H0(A)......Page 387
Quelques applications du théorème de structure locale......Page 390
Grassmanniennes......Page 394
Groupes de Grothendieck et de Picard......Page 405
Identification de points sur la droite affine......Page 412
Exercices et problèmes......Page 415
Commentaires bibliographiques......Page 438
Treillis distributifs, groupes réticulés......Page 439
Treillis distributifs et algèbres de Boole......Page 440
Groupes réticulés......Page 446
Monoïdes à pgcd, anneaux à pgcd......Page 454
Treillis de Zariski d'un anneau commutatif......Page 458
Relations implicatives......Page 469
Exercices et problèmes......Page 473
Commentaires bibliographiques......Page 481
Introduction......Page 483
Anneaux arithmétiques......Page 484
Éléments entiers et localisation......Page 489
Anneaux de Prüfer......Page 492
Anneaux de Prüfer cohérents......Page 495
Anneaux quasi intègres de dimension <=1......Page 500
Anneaux de Prüfer cohérents de dimension <=1......Page 502
Factorisation d'idéaux de type fini......Page 504
Exercices et problèmes......Page 507
Commentaires bibliographiques......Page 524
Introduction......Page 525
Espaces spectraux......Page 526
Une définition constructive......Page 528
Quelques propriétés élémentaires de la dimension de Krull......Page 535
Extensions entières......Page 537
Dimension des anneaux géométriques......Page 538
Dimension de Krull des treillis distributifs......Page 540
Dimension des morphismes......Page 542
Dimension valuative......Page 548
Lying over, Going up et Going down......Page 554
Exercices et problèmes......Page 557
Commentaires bibliographiques......Page 567
Introduction......Page 569
Le théorème de Kronecker et le stable range de Bass......Page 570
Dimension de Heitmann et théorème de Bass......Page 572
Supports et n-stabilité......Page 576
Manipulations élémentaires de colonnes......Page 581
Le splitting off de Serre et le théorème de Forster-Swan......Page 584
Exercices et problèmes......Page 587
Commentaires bibliographiques......Page 590
Introduction......Page 593
Monoïdes comaximaux, recouvrements......Page 594
Quelques principes local-globals concrets......Page 596
Quelques principes local-globals abstraits......Page 601
Recollement concret d'objets......Page 603
La machinerie locale-globale constructive de base......Page 610
Quotienter par tous les idéaux maximaux......Page 614
Exercices et problèmes......Page 617
Commentaires bibliographiques......Page 621
Modules étendus......Page 623
Anneaux seminormaux......Page 625
Recollement à la Quillen-Vaserstein......Page 631
Le théorème de Horrocks......Page 634
Solution de la conjecture de Serre......Page 637
Modules projectifs étendus depuis les anneaux arithmétiques......Page 644
Conclusion: quelques conjectures......Page 652
Exercices et problèmes......Page 653
Commentaires bibliographiques......Page 654
Le groupe élémentaire......Page 657
Le symbole de Mennicke......Page 660
Vecteurs unimodulaires polynomiaux......Page 661
Principes local-globals de Suslin et Rao......Page 663
Exercices et problèmes......Page 665
Commentaires bibliographiques......Page 668
Objets de base, Ensembles, Fonctions......Page 669
Affirmer signifie prouver......Page 673
Connecteurs et quantificateurs......Page 674
Calculs mécaniques......Page 675
Principes d'omniscience......Page 676
Principes problématiques …......Page 679
Commentaires bibliographiques......Page 680
Tables des théorèmes......Page 683
Bibliographie......Page 691
Index des notations......Page 701
Index des termes......Page 707