Algorithmische Methoden: Zahlen, Vektoren, Polynome

موضوع کتاب الگوریتم های حل مسائل رایج در تحلیل و جبر خطی است. ساختار بر اساس اشیاء ریاضی است که نقش اصلی را در روش های ارائه شده ایفا می کنند. در این کتاب، تمرکز بر اعداد، بردارها و چند جمله ای های تک متغیره است، در حالی که جلد زیر به الگوریتم های ماتریس ها، توابع و چند جمله ای های چند متغیره می پردازد. پس از تکرار مبانی ریاضی، تمرکز بر توسعه و تحقق کامپیوتری روش‌های راه‌حل است.

خواننده می‌آموزد که چگونه اشیاء ریاضی مربوطه را می‌توان با کمک ساختارهای داده در رایانه نشان داد. نحوه انجام عملیات حسابی ابتدایی مرتبط با آن مانند جمع اعداد گویا یا ضرب دو چند جمله ای. مسائل گسترده تر با توجه به حل پذیری آنها و حساسیت آنها به اختلالات در داده های ورودی بررسی می شود. بر این اساس الگوریتم هایی برای حل آنها استخراج و در قالب شبه کد و مثال ارائه شده است. الگوریتم‌ها با توجه به تلاشی که برای محاسبه یک راه‌حل در رایانه انجام می‌شود و خطاهای محاسباتی که می‌توانند از گسسته‌سازی، خاتمه زودهنگام، گرد کردن و/یا داده‌های ورودی نادرست ناشی شوند، مورد بحث قرار می‌گیرند. پیاده سازی واقعی الگوریتم های توضیح داده شده در کتاب در Mathematica و/یا Matlab برای دانلود موجود است.

Gegenstand des Buches sind Algorithmen zur Lösung gängiger Fragestellungen der Analysis und der Linearen Algebra. Die Gliederung erfolgt anhand der mathematischen Objekte, die in den vorgestellten Methoden die zentrale Rolle spielen. So stehen im vorliegenden Buch Zahlen, Vektoren und univariate Polynome im Mittelpunkt, während in einem nachfolgenden Band auf Algorithmen zu Matrizen, Funktionen und multivariaten Polynomen eingegangen wird. Nach einer Wiederholung der mathematischen Grundlagen stehen Entwicklung und Computerrealisierung der Lösungsmethoden im Vordergrund.

Der Leser erfährt, wie die jeweiligen mathematischen Objekte am Computer mit Hilfe von Datenstrukturen dargestellt werden können, und wie die damit verbundenen elementaren Rechenoperationen ausgeführt werden können, etwa die Addition rationaler Zahlen oder die Multiplikation zweier Polynome. Umfangreichere Problemstellungen werden hinsichtlich ihrer Lösbarkeit und ihrer Sensitivität gegenüber Störungen der Eingangsdaten untersucht. Darauf basierend werden Algorithmen zu deren Lösung hergeleitet und in Form von Pseudocode sowie anhand von Beispielen präsentiert. Die Diskussion der Algorithmen wird hinsichtlich des Aufwands, mit dem die Berechnung einer Lösung am Computer verbunden ist, sowie der Rechenfehler, die durch Diskretisierung, vorzeitigen Abbruch, Rundung und/oder fehlerhafte Eingangsdaten entstehen können, geführt. Tatsächliche Implementierungen in Mathematica und/oder Matlab der im Buch beschriebenen Algorithmen stehen als Download zur Verfügung.