Algorithmic Methods in Non-Commutative Algebra: Applications to Quantum Groups

طیف گسترده ای از کاربردهای نظریه حلقه در دهه هشتاد با افزایش علاقه به ساختارهای جبری با پیچیدگی قابل توجه، به اصطلاح کلاس گروه های کوانتومی، افزایش یافته است. یکی از ویژگی‌های اساسی گروه‌های کوانتومی این است که آنها توسط حلقه‌های مختصات انجمنی مدل‌سازی می‌شوند که دارای مبنای متعارف هستند، که امکان استفاده از ساختارهای الگوریتمی مبتنی بر پایه‌های گروبنر را برای مطالعه آنها فراهم می‌کند. این کتاب این روش‌ها را به شیوه‌ای مستقل توسعه می‌دهد و بر مطالعه عمیق مفهوم طبقه وسیعی از حلقه‌های غیرقابل جابه‌جایی (شامل بیشتر گروه‌های کوانتومی)، به اصطلاح حلقه‌های پوانکاره-بیرخوف-ویت تمرکز می‌کند. ما شامل الگوریتم‌هایی می‌شویم که جنبه‌های اساسی مانند ایده‌آل‌ها و (دو)ماژول‌ها، محاسبه بعد همسانی و بعد Gelfand-Kirillov، چند جمله‌ای هیلبرت-ساموئل، آزمون‌های اولیه برای ایده‌آل‌های اول و غیره را بررسی می‌کنند.

The already broad range of applications of ring theory has been enhanced in the eighties by the increasing interest in algebraic structures of considerable complexity, the so-called class of quantum groups. One of the fundamental properties of quantum groups is that they are modelled by associative coordinate rings possessing a canonical basis, which allows for the use of algorithmic structures based on Groebner bases to study them. This book develops these methods in a self-contained way, concentrating on an in-depth study of the notion of a vast class of non-commutative rings (encompassing most quantum groups), the so-called Poincaré-Birkhoff-Witt rings. We include algorithms which treat essential aspects like ideals and (bi)modules, the calculation of homological dimension and of the Gelfand-Kirillov dimension, the Hilbert-Samuel polynomial, primality tests for prime ideals, etc.