Algèbre - M.P. et Spéciales A-A'

Avant-Propos .... 5 
Chapitre 1. Ensembles. Applications. Relations 9 
I. Introduction. Notions de logique 
Ensemble (élément, appartenance) 9 
IL Inclusion. Réunion. Intersection 17 
III. Produit cartésien. Relations. Correspondances 26 
IV. Applications de A dans B 31 
V. Relations d\'équivalence , 43 
VI. Relations d\'ordre 47 
VIL Conclusion. 56 
Exercices 60 
Chapitre 2. Entiers naturels 64 
I. Ensemble N des entiers naturels 64 
IL Ensembles finis 67 
III. Opérations sur les entiers naturels 72 
IV. Analyse combinatoire 81 
V. Notions sur les ensembles dénombrables 86 
Exercices 88 
Chapitre 3. Lois de composition.. 91 
I. Ensembles munis d\'une loi de composition interne 91 
IL Diverses lois internes associées à une même loi interne 100 
III. Homomorphismes et isomorphismes de (E, T) dans (E\', T\') 105 
IV. Symétrisation d\'une loi interne. Groupe additif Z 108 
V. Ensemble muni de deux lois de composition interne. Distributivité Anneau Z. 116 
VI. Lois externes 121 
VIL Structures. Isomorphismes. Homomorphismes 124 
Exercices 129 
Chapitre 4. Groupes 132 
I. Définition. Exemples. Premières propriétés 132 
IL Sous-groupes d\'un groupe 135 
III. Homomorphismes et isomorphismes des groupes 140 
IV. Produit cartésien de groupes. Somme directe 143 
V. Génération des groupes 147 
VI. Groupes de transformation 149 
Exercices 157 
Chapitre 5. Anneaux et corps 162 
I. Anneaux. Premières propriétés.. 162 
II. Idéaux. Homomorphismes d\'anneaux 169 
III. Divisibilité dans un anneau. Étude particulière de Z .... 174 
IV. Corps. Corps Q des rationnels . 184 
V. Anneaux et corps ordonnés. Notions sur le corps E 191 
Exercices 199 
Chapitre 6. Nombres complexes 207 
I. Corps des nombres complexes. Module d\'un nombre complexe 207 
II. Représentation géométrique dfun nombre complexe 
Argument d\'un nombre complexe 214 
III. Applications des nombres complexes 224 
Exercices 237 
Chapitre 7. Espaces vectoriels 242 
I. Définition. Premières propriétés 242 
II. Sous-espaces vectoriels 246 
III. Indépendance linéaire. Bases 253 
IV. Propriétés des applications linéaires 266 
V. Opérations algébriques effectuées sur les applications linéaires 275 
VI. Formes linéaires. Dualité 281 
Exercices 292 
Chapitre 8. Matrices 302 
I. Généralités 302 
II. Opérations algébriques sur les matrices 310 
III. Changement de bases. 320 
Exercices 327 
Chapitre 9. Déterminants 336 
I. Applications et formes multilinéaires alternées 336 
II. Déterminants 344 
III. Premières applications des déterminants 354 
Exercices 360 
Chapitre 10. Equations linéaires 368 
Exercices 382 
Chapitre 11. Polynômes .... 386 
I. Définitions générales 386 
II. Étude de K[X]3 K corps commutatif 399 
III. Étude de K[X1? ..., XTO], K corps commutatif. 421 
Exercices 435 
Chapitre 12. Fractions rationnelles 443 
I. Fractions rationnelles et fonctions rationnelles 443 
II. Décomposition en éléments simples 451 
Exercices 464 
Chapitre 13. Equations algébriques 468 
I. Fonctions rationnelles des racines 469 
IL Élimination et applications 471 
Exercices 481 
Chapitre 14. Valeurs propres et vecteurs propres d\'un endomorphisme 489 
Réduction des matrices 
Exercices 504 
Chapitre 15. Formes bilméaires symétriques et formes hermitiennes 512 
I. Définition et premières propriétés des formes bilinéaires et des formes  
quadratiques , ... 512 
IL Formes dégénérées et non dégénérées. Orthogonalité. Éléments isotropes.... 520 
III. Endomorphisme adjoint. Applications 529 
IV. Formes bilinéaires symétriques réelles. Espace euclidien de dimension n..... 535 
V. Formes hermitiennes. Espace hermitien de dimension n 557 
Exercices 574 
Index des notations 585 
Index terminologique 589